Question

28、如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，且DF=BE．
（1）求證：CE=CF；
（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？
（3）根據(jù)你所學(xué)的知識，運(yùn)用（1）、（2）解答中積累的經(jīng)驗(yàn)，完成下列各題：
①如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中點(diǎn)，且∠DCE=45°，求DE的長；
②如圖3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，則△ABC的面積為

15

（直接寫出結(jié)果，不需要寫出計(jì)算過程）．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳BCD為正方形，所以CB=CD，∠B=∠CDA=90°，又因?yàn)镈F=BE，則△BCE≌△DCF，即可求證CE=CF；
（2）因?yàn)椤螧CD=90°，∠GCE=45°，則有∠BCE+∠GCD=45°，又因?yàn)椤鰾CE≌△DCF，所以∠ECG=∠FCG，CE=CF，CG=CG，則△ECG≌△FCG，故GE=BE+GD成立；
（3）①過點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)G，利用勾股定理求得DE的長；
②由題中條件直接求得△ABC的面積．

解答：證明：（1）在正方形ABCD中 CB=CD，∠B=∠CDA=90°，
∴∠CDF=∠B=90°．
∵DF=BE，
∴△BCE≌△DCF（SAS）．
∴CE=CF．

（2）GE=BE+GD成立．
∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°．
∵△BCE≌△DCF（已證），
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠GCF=∠GCD+∠DCF=∠GCD+∠BCE=45°．
∴∠ECG=∠FCG=45°．
∵CE=CF，CG=CG，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=FG．
∵FG=GD+DF，
∴GE=BE+GD．

（3）①過點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)G，
由（1）和題設(shè)知：DE=DG+BE，
設(shè)DG=x，則AD=12-x，DE=x+6，
在Rt△ADE中，AD²+AE²=DE²
∴6²+（12-x）²=（x+6）²解得x=4．
∴DE=6+4=10；
②△ABC的面積為15．

點(diǎn)評：此題是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的判定和全等三角形的判定結(jié)合求解的綜合題．難度稍大，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力．