Question

△ABC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)P、Q分別是邊AC與邊BC上的兩點(diǎn)，QC=2AP，設(shè)AP=x，△PQC的面積為S．
（1）直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）當(dāng)x為何值時，S有最大值，并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，作P作PE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)平行線分線段成比例定理，即可求得PE的值，繼而求得S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由a=-＜0，即可得當(dāng)當(dāng)x=1時，S最大值為．
解答：解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，作P作PE⊥BC于點(diǎn)E，
∴PE∥AD，
∴，
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，
∴AD=AB•sin60°=，
∵AP=x，
∴PC=AC-AP=2-x，
∴，
解得：PE=-x，
∵QC=2AP=2x，
∴S=CQ•PE=×2x×（-x）=-x²+x=-（x-1）²+，
∴S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-（x-1）²+；

（2）∵a=-＜0，
∴S有最大值，
∴當(dāng)x=1時，S最大值為．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的最值問題與平行線分線段成比例定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．