Question

【題目】如圖，已知拋物線y=（x2﹣7x+6）的頂點坐標為M，與x軸相交于A，B兩點（點B在點A的右側），與y軸相交于點C．

（1）用配方法將拋物線的解析式化為頂點式：y=a（x﹣h）2+k（a≠0），并指出頂點M的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上找點R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和點R的坐標；
（3）以AB為直徑作⊙N交拋物線于點P（點P在對稱軸的左側），求證：直線MP是⊙N的切線．

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】解：∵y=（x2﹣7x+6）=（x2﹣7x）﹣3=（x﹣）2+，

∴拋物線的解析式化為頂點式為：y=（x﹣）2+，

頂點M的坐標是（，）；

（2）

解：∵y=（x2﹣7x+6），

∴當y=0時，（x2﹣7x+6）=0，

解得x=1或6，

∴A（1，0），B（6，0），

∵x=0時，y=﹣3，

∴C（0，﹣3）．

連接BC，則BC與對稱軸x=的交點為R，連接AR，

則CR+AR=CR+BR=BC，根據兩點之間線段最短可知此時CR+AR的值最小，

最小值為BC==．

設直線BC的解析式為y=kx+b，

∵B（6，0），C（0，﹣3），

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為：y=x﹣3，

令x=，得y=×﹣3=，

∴R點坐標為（，）；

（3）

證明：設點P坐標為（x，x2+x﹣3）．

∵A（1，0），B（6，0），

∴N（，0），

∴以AB為直徑的⊙N的半徑為AB=，

∴NP=，

即（x﹣）2+（x2+x﹣3）2=（）2，

化簡整理得，x4﹣14x3+65x2﹣112x+60=0，

（x﹣1）（x﹣2）（x﹣5）（x﹣6）=0，

解得x1=1（與A重合，舍去），x2=2，x3=5（在對稱軸的右側，舍去），x4=6（與B重合，舍去），

∴點P坐標為（2，2）．

∵M（，），N（，0），

∴PM2=（2﹣）2+（2﹣）2=，

PN2=（2﹣）2+22==，

MN2=（）2=，

∴PM2+PN2=MN2，

∴∠MPN=90°，

∵點P在⊙N上，

∴直線MP是⊙N的切線．

【解析】（1）利用配方法先提出二次項系數，再加上一次項系數的一半的平方來湊完全平方式，即可把一般式轉化為頂點式，然后根據二次函數的性質求出拋物線的頂點坐標；
（2）連接BC，則BC與對稱軸的交點為R，此時CR+AR的值最��；先求出點A、B、C的坐標，再利用待定系數法求出直線BC的解析式，進而求出其最小值和點R的坐標；
（3）設點P坐標為（x，﹣x2+x﹣3）．根據NP=AB=列出方程（x﹣）2+（﹣x2+x﹣3）2=（）2 ， 解方程得到點P坐標，再計算得出PM2+PN2=MN2 ， 根據勾股定理的逆定理得出∠MPN=90°，然后利用切線的判定定理即可證明直線MP是⊙N的切線．