Question

【題目】已知如圖，圓P經過點A（﹣4，0），點B（6，0），交y軸于點C，∠ACB=45°，連結AP、BP．

（1）求圓P的半徑；
（2）求OC長；
（3）在圓P上是否存在點D，使△BCD的面積等于△ABC的面積？若存在求出點D坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣4，0），B（6，0）

∴AB=10，

∵∠ACB=45°，

∴∠APB=90°，

∴△PAB為等腰直角三角形，且PA=PB，

∴PA2+PB2=AB2，

解得PA=PB= ，

∴圓P的半徑為

（2）解：作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，連接PC，

∵△PAB為等腰直角三角形，

∴PM=AM=BM AB=5，

∴OM=AM﹣AO=1，

∴ON=PM=5，PN=OM=1，

在Rt△PNC中有：CN= = =7，

∴OC=ON+NC=5+7=12，

∴OC=12

（3）解：∵S△BCD=S△ABC，D為圓P上一點，

①當D與A重合時，仍滿足條件，

∴D1（﹣4，0），

②當D與A不重合時，過A作BC的平行線，

與圓P的交點，即為所求的點D，

∵AD∥BC

∴S△BCD=S△ABC（等底等高），

作AG⊥BC于G，作DH⊥BC于H，DQ⊥x軸于Q，

∵cos∠ABC= ，sin∠ABC= ，

∴AG=ABcos∠ABC= ，

∵DH=AG=ABsin∠ABC= ，

∵∠DBC=∠DAC=∠ACB=45°，

∴BH=DH= ，

∴AD=GH=BH﹣BG= ，

∴DQ=ADsin∠DAQ=ADsin∠ABC=4，

AQ=ADcos∠DAQ=ADcos∠ABC=2，

∴OQ=OA+AQ=6，

∴D2（﹣6，4）

綜上：D點的坐標為（﹣4，0）或（﹣6，4）．

【解析】（1）由∠APB=2∠ACB=90°，AB=10，△PAB為等腰直角三角形，即可求得圓P的半徑；（2）作PN⊥OC，PM⊥x軸，則ON=PM= AB=5，再根據勾股定理求出CN的長度，則OC=ON+NC；（3）分兩種情況，①當D與A重合時，易得D（﹣4，0），②當D與A重合時，根據等底等高的性質，過A作BC的平行線，與圓P的交點即為所求的點D．