Question

（2012•攀枝花）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD是菱形，頂點(diǎn)A、C、D均在坐標(biāo)軸上，且AB=5，sinB=

4

5

．
（1）求過(guò)A、C、D三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式；
（2）記直線(xiàn)AB的解析式為y₁=mx+n，（1）中拋物線(xiàn)的解析式為y₂=ax²+bx+c，求當(dāng)y₁＜y₂時(shí)，自變量x的取值范圍；
（3）設(shè)直線(xiàn)AB與（1）中拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為E，P點(diǎn)為拋物線(xiàn)上A、E兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，△PAE的面積最大？并求出面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由菱形ABCD的邊長(zhǎng)和一角的正弦值，可求出OC、OD、OA的長(zhǎng)，進(jìn)而確定A、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)，通過(guò)待定系數(shù)法可求出拋物線(xiàn)的解析式．
（2）首先由A、B的坐標(biāo)確定直線(xiàn)AB的解析式，然后求出直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)解析式的兩個(gè)交點(diǎn)，然后通過(guò)觀(guān)察圖象找出直線(xiàn)y₁在拋物線(xiàn)y₂圖象下方的部分．
（3）該題的關(guān)鍵點(diǎn)是確定點(diǎn)P的位置，△APE的面積最大，那么S_△APE=

1

2

AE×h中h的值最大，即點(diǎn)P離直線(xiàn)AE的距離最遠(yuǎn)，那么點(diǎn)P為與直線(xiàn)AB平行且與拋物線(xiàn)有且僅有的唯一交點(diǎn)．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，sinB=sinD=

4

5

；
Rt△OCD中，OC=CD•sinD=4，OD=3；
OA=AD-OD=2，即：
A（-2，0）、B（-5，4）、C（0，4）、D（3，0）；
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a（x+2）（x-3），得：
2×（-3）a=4，a=-

2

3

；
∴拋物線(xiàn)：y=-

2

3

x²+

2

3

x+4．

（2）由A（-2，0）、B（-5，4）得直線(xiàn)AB：y₁=-

4

3

x-

8

3

；
由（1）得：y₂=-

2

3

x²+

2

3

x+4，則：

y=- 4 3 x- 8 3   y=- 2 3 x2+ 2 3 x+4

，
解得：

x1=-2 y1=0

，

x2=5 y2=- 28 3

；
由圖可知：當(dāng)y₁＜y₂時(shí)，-2＜x＜5．

（3）∵S_△APE=

1

2

AE•h，
∴當(dāng)P到直線(xiàn)AB的距離最遠(yuǎn)時(shí)，S_△APE最大；
若設(shè)直線(xiàn)L∥AB，則直線(xiàn)L與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)為點(diǎn)P；
設(shè)直線(xiàn)L：y=-

4

3

x+b，當(dāng)直線(xiàn)L與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
-

4

3

x+b=-

2

3

x²+

2

3

x+4，且△=0；
求得：b=

11

2

，即直線(xiàn)L：y=-

4

3

x+

11

2

；
可得點(diǎn)P（

3

2

，

7

2

）．
由（2）得：E（5，-

28

3

），則直線(xiàn)PE：y=-

11

3

x+9；
則點(diǎn)F（

27

11

，0），AF=OA+OF=

49

11

；
∴△PAE的最大值：S_△PAE=S_△PAF+S_△AEF=

1

2

×

49

11

×（

28

3

+

7

2

）=

343

12

．
綜上所述，當(dāng)P（

3

2

，

7

2

）時(shí)，△PAE的面積最大，為

343

12

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查的是函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，其中綜合了特殊四邊形、圖形面積的求法等知識(shí)，找出動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中的關(guān)鍵點(diǎn)位置是解答此類(lèi)問(wèn)題的大致思路．