Question

漢口江灘有一個(gè)大型的圓形底面的噴水池，水池正中央裝有一根高

13

16

米的水管，水管頂端裝有一個(gè)噴水頭，已知噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為3米處達(dá)到最高高度為

49

16

米，
（1）請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使水管頂端的坐標(biāo)為（0，

13

16

），水柱的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，

49

16

），求此坐標(biāo)系中拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）．
（2）如圖，在水池底面上有一些同心圓軌道，每條軌道上安裝了噴水龍頭，相鄰軌道之間的寬度為l米，最內(nèi)軌道的半徑為r米，其上每1.2米的弧長上裝有一個(gè)噴水龍頭，其他軌道上的噴水龍頭個(gè)數(shù)與最內(nèi)軌道上的個(gè)數(shù)相同．（1）中水柱落地處剛好在最外軌道上，求當(dāng)r為多少時(shí)，水池中安裝的噴水龍頭的個(gè)數(shù)最多？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)題意確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，

49

16

），設(shè)拋物線解析式為y=a（x-3）²+

49

16

，根據(jù)水柱高為

13

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米，將點(diǎn)（0，

13

16

）代入拋物線解析式求a即可；
（2）根據(jù)（1）中求出的拋物線解析式求水柱落地點(diǎn)離池中心的距離，根據(jù)池中安裝水龍頭的個(gè)數(shù)m=內(nèi)圈裝水龍頭的個(gè)數(shù)×圈數(shù)，列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值．

解答：解：（1）如圖，依題意建立平面直角坐標(biāo)系，
∵點(diǎn)（1，3）為拋物形水柱的頂點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x-3）²+

49

16

，將點(diǎn)（0，

13

16

）代入，得

13

16

=a（0-3）²+

49

16

，
解得a=-

1

4

，
因此，拋物形水柱對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

1

4

（x-3）²+

49

16

；

（2）當(dāng)y=0時(shí)，-

1

4

（x-3）²+

49

16

=0，
解得x₁=-

1

2

，x₂=

13

2

，
根據(jù)實(shí)際，x=-

1

2

舍去，
所以，x=

13

2

，即水柱落地點(diǎn)離池中心

13

2

m，
設(shè)池中安裝水龍頭m個(gè)，依題意得
m=

2πr

1.2

•

6.5-r

1

，即m=

5

3

π（6.5r-r²）=-

5

3

π（r-

13

4

）²+

845

48

π，
所以當(dāng)r=

13

4

時(shí)，池中安裝的水龍頭的個(gè)數(shù)最多．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式，根據(jù)條件求拋物線解析式，再列出池中安裝水龍頭個(gè)數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．