Question

如圖1，已知AO是等腰Rt△ABC的角平分線，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）在圖1中，∠AOC的度數(shù)為

90°

；與線段BO相等的線段為

CO和AO

；
（2）將圖1中的△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A₁OC₁，如圖2，連接AA₁，BC₁，試判斷S_△AOA1與S_△BOC1的大小關(guān)系？并給出你的證明；
（3）將圖1中的△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△MBN，如圖3，點(diǎn)P為MC的中點(diǎn)，連接PA、PN，求證：PA=PN．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出AO⊥BC，AO平分BC，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出AO=OB=CO；
（2）過點(diǎn)O作MN⊥BC₁于M，交AA₁于N，證△A₁ON≌△OC₁M，推出△A₁ON和△OC₁M的面積相等，同理可證△AON和△OBM的面積相等，即可得出答案；
（3）延長(zhǎng)NP至E，使PE=NP，連接CE，AN，AE，證△PCE≌△PMN，推出CE=NM=BN，∠MNP=∠PEC，推出CE∥MN，C，設(shè)EC的延長(zhǎng)線交BN的延長(zhǎng)線于O，得出A、B、O、C四點(diǎn)共圓，推出∠ACE=∠ABN，證△ABN≌△ACE，推出AN=AE，∠ABN=∠EAC，求出∠EAN=90°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半推出即可．

解答：（1）解：∵AB=AC，AO是∠BAC的角平分線，
∴AO⊥BC，
∴∠AOC=90°，BO=OC，
∵∠BAC=90°，
∴BO=OA=OC；

（2）S_△AOA1=S_△BOC1．
證明：過點(diǎn)O作MN⊥BC₁于M，交AA₁于N，
∵OB=OC₁，
∴BM=C₁M，∠BOM=∠C₁OM，
∵∠AOB=∠A₁OC₁=90°，
∴∠AON+∠BOM=∠A₁ON+∠C₁OM=90°，
∴∠AON=∠A₁ON，
∵AO=A₁O，
∴ON⊥AA₁，
∴∠A₁NO=90°=∠OMC₁，
∵在△OMC₁和△A₁ON中

∠A1NO=∠C1MO ∠NA1O=∠C1OM A1O=OC1

∴△A₁ON≌△OC₁M（AAS），
∴△A₁ON和△OC₁M的面積相等，
同理可證△AON和△OBM的面積相等，
∴S_△AOA1=S_△BOC1；

（3）證明：延長(zhǎng)NP至E，使PE=NP，連接CE，AN，AE，
∵點(diǎn)P為MC的中點(diǎn)，
∴MP=CP，
∵在△PCE和△PMN中

CP=PM ∠EPC=∠MPN PE=NP

，
∴△PCE≌△PMN（SAS），
∴CE=NM=BN，∠MNP=∠PEC，
∴CE∥MN，
設(shè)EC的延長(zhǎng)線交BN的延長(zhǎng)線于O，
∴∠BNM=∠BOC=90°，
又∵∠BAC=90°，
∴A、B、O、C四點(diǎn)共圓，
∴在四邊形ABOC中，∠ACE=∠ABN，
∵在△ABN和△ACE中

AB=AC ∠ABN=∠ACE BN=CE

                                          
∴△ABN≌△ACE（SAS），
∴AN=AE，∠ABN=∠EAC，
∵∠BAC=90°=∠BAN+∠NAC=∠EAC+∠NAC=∠EAN，
即∠EAN=90°，
∵點(diǎn)P為NE的中點(diǎn)，
∴PA=PN（直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，注意：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半．