Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△AOB是等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-4，0），點(diǎn)B在第二象限，點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，并把△AOP繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到△ABD．
（1）連接DP，猜想△APD的形狀，并加以說明；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(0，

3

)時(shí)，求此時(shí)DP的長(zhǎng)；
（3）是否存在點(diǎn)P，使△OPD的面積等于

3

4

？若存在，請(qǐng)求出符合條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，AD=AP，旋轉(zhuǎn)角∠OAB=∠PAD=60°，即可得出；
（2）由AP=PD，所以，根據(jù)勾股定理求出AP的長(zhǎng)，即可得出；
（3）本題分三種情況進(jìn)行討論，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，t）：①當(dāng)P在y軸正半軸上時(shí)，即t＞0時(shí)，在直角三角形DBG中，可根據(jù)BD即OP的長(zhǎng)和∠DBG的正弦函數(shù)求出DG的表達(dá)式，即可求出DH的長(zhǎng)，根據(jù)已知的△OPD的面積可列出一個(gè)關(guān)于t的方程，即可求出t的值．②當(dāng)P在y軸負(fù)半軸，但D在x軸上方時(shí)．即-

4 3

3

＜t≤0時(shí)，方法同①類似，也是在直角△DBG用BD的長(zhǎng)表示出DG，進(jìn)而求出HD的長(zhǎng)；③當(dāng)P在x軸負(fù)半軸，D在x軸下方時(shí)，即t≤-

4 3

3

時(shí)，方法同②．

解答：解：（1）等邊三角形，
理由是：∵把△AOP繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AO與AB重合，得到△ABD．
∴AP=AD，∠OAP=∠DAB，
∵等邊三角形AOB，
∴∠BAO=60°=∠OAP+∠PAB，
∴∠DAP=60°，
即△APD的形狀是等邊三角形．

（2）∵等邊△APD，
∴DP=AP=

OA2+OP2

=

42+( 3 )2

=

19

；

（3）設(shè)P（0，t），假設(shè)存在P點(diǎn)，使△OPD的面積等于

3

4

．下面分三種情況討論：
①當(dāng)t＞0時(shí)，如圖，BD=OP=t，DG=

3

2

t，
∴DH=2+

3

2

t．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴

1

2

t（2+

3

2

t）=

3

4

，
解得t1=

21 -2 3

3

，t2=

- 21 -2 3

3

（舍去），
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（0，

21 -2 3

3

）．
②當(dāng)-

4 3

3

＜t≤0時(shí)，如圖，BD=OP=-t，BG=-

3

2

t，
∴DH=2-（-

3

2

t）=2+

3

2

t．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴-

1

2

t（2+

3

2

t）=

3

4

，
解得 t₁=-

3

3

，t₂=-

3

，
∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為（0，-

3

3

），點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（0，-

3

）．
③當(dāng)t≤-

4 3

3

時(shí)，如圖，BD=OP=-t，DG=-

3

2

t，
∴DH=-

3

2

t-2．
∵△OPD的面積等于

3

4

，
∴

1

2

t（2+

3

2

t）=

3

4

，
解得 t₁=

21 -2 3

3

（舍去），t₂=

- 21 -2 3

3

，
∴點(diǎn)P₄的坐標(biāo)為（0，

- 21 -2 3

3

），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為P₁（0，

21 -2 3

3

）、P₂（0，-

3

3

）、P₃（0，-

3

）、P₄（0，

- 21 -2 3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問題，注意分類討論解答．