Question

如圖，拋物線y=ax²+b與x軸交于點(diǎn)A、B，且A點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，1）．

（1）求拋物線的解析式，并求出點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)B作BD∥CA交拋物線于點(diǎn)D，連接BC、CA、AD，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)；（結(jié)果保留根號(hào)）
（3）在x軸上方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE垂直于x軸，垂足為點(diǎn)E，使以B、P、E為頂點(diǎn)的三角形與△CBD相似？若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)C（0，1）在拋物線y=ax²+b上，
∴，解得：。
∴拋物線的解析式為：y=﹣x²+1。
∴拋物線的對(duì)稱軸為y軸。
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A（1，0）關(guān)于y軸對(duì)稱，∴B（﹣1，0）。
（2）設(shè)過點(diǎn)A（1，0），C（0，1）的直線解析式為y=kx+b，可得：
，解得：。
∴過點(diǎn)A，C的直線解析式為y=﹣x+1。
∵BD∥CA，∴可設(shè)直線BD的解析式為y=﹣x+n。
∵點(diǎn)B（﹣1，0）在直線BD上，∴0=1+n，得n=﹣1。
∴直線BD的解析式為：y=﹣x﹣1。
將y=﹣x﹣1代入拋物線的解析式，得：﹣x﹣1=﹣x²+1，解得：x₁=2，x₂=﹣1。
∵B點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣1，則D點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，∴D點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=﹣2﹣1=﹣3。
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3）。
如圖①所示，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，

則DN=3，AN=1，BN=3，
在Rt△BDN中，BN=DN=3，
由勾股定理得：BD=。
在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，
由勾股定理得：AD=。
又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，
由勾股定理得：AC=BC=。
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：AC+BC+BD+AD=+++=+。
（3）存在。
假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，則△BPE與△CBD相似有兩種情形：
（I）若△BPE∽△BDC，如圖②所示，

則有，即，∴PE=3BE。
設(shè)OE=m（m＞0），
則E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣3m，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣m，3﹣3m）。
∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x²+1上，
∴3﹣3m=﹣（﹣m）²+1，解得m=1或m=2。
當(dāng)m=1時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，故舍去；當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)E在OB左側(cè)，點(diǎn)P在x軸下方，不符合題意，故舍去。
因此，此種情況不存在。
（II）若△EBP∽△BDC，如圖③所示，

則有，即，∴BE=3PE。
設(shè)OE=m（m＞0），
則E（m，0），BE=1+m，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，）。
∵點(diǎn)P在拋物線y=﹣x²+1上，
∴，解得m=﹣1或m=。
∵m＞0，故m=﹣1舍去，∴m=。
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：。
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）。
綜上所述，存在點(diǎn)P，使以B、P、E為頂點(diǎn)的三角形與△CBD相似，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）。

解析試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，點(diǎn)B坐標(biāo)可由對(duì)稱性質(zhì)得到，或令y=0，由解析式得到。
（2）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后利用勾股定理分別求出四邊形ABCD四個(gè)邊的長(zhǎng)度。
（3）本問為存在型問題。先假設(shè)存在，然后按照題意條件求點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果能求出則點(diǎn)P存在，否則不存在．注意三角形相似有兩種情形，需要分類討論。