數(shù)學(xué)家們通過長(zhǎng)期的研究,得到了關(guān)于“等周問題”的重要結(jié)論:在周長(zhǎng)相同的所有封閉平面曲線中,以圓所圍成的面積最大.
“等周問題”雖然較為繁雜,但其根本思想基于下面2個(gè)事實(shí):
事實(shí)1:等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)圖形為正n邊形時(shí),其面積最大;
事實(shí)2:等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí),其面積也越大.
為了理解這些事實(shí)的合理性,曙光數(shù)學(xué)小組走出校門展開了下列課題研究.請(qǐng)你幫助他們解決其中的一些問題.
現(xiàn)有長(zhǎng)度為100m的籬笆(可彎曲圍成一個(gè)區(qū)域).
(1)如果用籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形雞場(chǎng),怎樣圍才能使雞場(chǎng)的面積最大?為什么?
(2)如果用籬笆圍成一個(gè)正五邊形雞場(chǎng),那么與(1)中的正方形雞場(chǎng)比較,哪個(gè)面積更大?請(qǐng)?jiān)谑聦?shí)1的基礎(chǔ)上證明事實(shí)2:“等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí),其面積也越大.”
(3)利用事實(shí)1和事實(shí)2,請(qǐng)對(duì)“等周問題”的重要結(jié)論作出較為合理的解釋.
(4)愛動(dòng)腦筋的小明提出一個(gè)問題:如果借用一條充分長(zhǎng)的直墻,將籬笆圍成一個(gè)四邊形雞場(chǎng),為了使雞場(chǎng)的面積盡量大,所圍成的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)是寬的2倍(如圖).你覺得他講的是否有道理?你有沒有更好的方法,使圍成的四邊形雞場(chǎng)的面積更大?如果有,請(qǐng)說明你的方法.
精英家教網(wǎng)
分析:(1)設(shè)一邊的長(zhǎng)為x,用它表示另一邊及面積,運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求解;
(2)、(3)可運(yùn)用割圓術(shù)的思路,在某一個(gè)多邊形的基礎(chǔ)上把一邊分成兩邊,細(xì)化下去便是圓;
(4)由(1)知小明講的有道理.
解答:解:(1)設(shè)長(zhǎng)為xm,寬為(50-x)m,則S=x•(50-x)=-(x-25)2+625,所以當(dāng)每條邊長(zhǎng)為25m時(shí),才能使長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的面積最大;

(2)正五邊形雞場(chǎng)面積更大;
對(duì)于事實(shí)2,我們給出下述證明:
精英家教網(wǎng)
如圖1、2,設(shè)正n邊形A1A2An與正(n+1)邊形A1A2An+1的周長(zhǎng)相等,下面我們證明SA1A2AnSA1A2An+1.在邊A1A2上任取一點(diǎn)(異于點(diǎn)A1、A2),這樣我們可以把A1A2An看成是(n+1)邊形A1CA2An,但它顯然不是正(n+1)邊形,它的周長(zhǎng)與正(n+1)邊形A1A2An+1的周長(zhǎng)相等,根據(jù)事實(shí)1,SA1CA2AnSA1A2An+1,即SA1A2AnSA1A2An+1
所以,等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí),其面積也越大;

(3)在周長(zhǎng)相同的情況下,曲線圍成正多邊形面積較大;
正多邊形的邊數(shù)越大,圖形越接近于圓,面積也越大,當(dāng)邊數(shù)無(wú)限增大時(shí),正多邊形無(wú)限地接近于圓,面積越來越接近于一個(gè)固定的值,這個(gè)值就是所圍成的圓的面積;

(4)他講的有道理.
設(shè)寬為xm,長(zhǎng)為(100-2x)m,
則S=x•(100-2x)=-2(x-25)2+1250,
所以當(dāng)長(zhǎng)為寬的2倍時(shí),才能使長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的面積最大.
有更好的方法:
精英家教網(wǎng)
如圖4,如果將圖1中的點(diǎn)A、D分別向外移動(dòng).
那么ABCD仍然是四邊形,而將四邊形沿墻反射過來,這樣就得到一個(gè)新的封閉六邊形BCDC′B′A,它的周長(zhǎng)等于原籬笆長(zhǎng)度的兩倍.
所以當(dāng)六邊形BCDC′B′A為正六邊形,即AB=BC=CD,且∠BAD=∠CDA=60°,∠ABC=∠DCB=120°時(shí),六邊形BCDC′B′A的面積最大.
因而其一半即四邊形ABCD的面積也最大.由于周長(zhǎng)相等,
因此圖4中正六邊形BCDC′B′A的面積大于圖3中正方形BCC′B′的面積,
所以圖4中四邊形ABCD的面積大于圖3中四邊形ABCD的面積.
點(diǎn)評(píng):此題檢測(cè)學(xué)生理解知識(shí)和運(yùn)用知識(shí)的能力,考查學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力,因?yàn)槔碚撔暂^強(qiáng),所以宜作競(jìng)賽題使用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

音樂家和數(shù)學(xué)家們經(jīng)過長(zhǎng)期合作研究并發(fā)現(xiàn):琴弦所發(fā)出聲音高低取決于琴弦的長(zhǎng)度,如果幾根琴弦長(zhǎng)度之比能表示成整數(shù)的比,則它們發(fā)出的聲音就很和諧.如三根弦長(zhǎng)之比為15:12:10,它們發(fā)出的聲音就是簡(jiǎn)譜中的1、3、7.經(jīng)過計(jì)算表明這三個(gè)數(shù)的倒數(shù)有如下關(guān)系:
1
12
-
1
15
=
1
10
-
1
12
,這樣的三個(gè)數(shù)我們稱之為一組和諧數(shù).假設(shè)現(xiàn)有一組和諧數(shù):x、6、4,則x的值為
 

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列事件中是必然事件的是( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

數(shù)學(xué)家們通過長(zhǎng)期的研究,得到了關(guān)于“等周問題”的重要結(jié)論:在周長(zhǎng)相同的所有封閉平面曲線中,以圓所圍成的面積最大.
“等周問題”雖然較為繁雜,但其根本思想基于下面2個(gè)事實(shí):
事實(shí)1:等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)圖形為正n邊形時(shí),其面積最大;
事實(shí)2:等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí),其面積也越大.
為了理解這些事實(shí)的合理性,曙光數(shù)學(xué)小組走出校門展開了下列課題研究.請(qǐng)你幫助他們解決其中的一些問題.
現(xiàn)有長(zhǎng)度為100m的籬笆(可彎曲圍成一個(gè)區(qū)域).
(1)如果用籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形雞場(chǎng),怎樣圍才能使雞場(chǎng)的面積最大?為什么?
(2)如果用籬笆圍成一個(gè)正五邊形雞場(chǎng),那么與(1)中的正方形雞場(chǎng)比較,哪個(gè)面積更大?請(qǐng)?jiān)谑聦?shí)1的基礎(chǔ)上證明事實(shí)2:“等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí),其面積也越大.”
(3)利用事實(shí)1和事實(shí)2,請(qǐng)對(duì)“等周問題”的重要結(jié)論作出較為合理的解釋.
(4)愛動(dòng)腦筋的小明提出一個(gè)問題:如果借用一條充分長(zhǎng)的直墻,將籬笆圍成一個(gè)四邊形雞場(chǎng),為了使雞場(chǎng)的面積盡量大,所圍成的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)是寬的2倍(如圖).你覺得他講的是否有道理?你有沒有更好的方法,使圍成的四邊形雞場(chǎng)的面積更大?如果有,請(qǐng)說明你的方法.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2008-2009學(xué)年九年級(jí)(上)數(shù)學(xué)月考試卷(二)(英才班)(解析版) 題型:解答題

數(shù)學(xué)家們通過長(zhǎng)期的研究,得到了關(guān)于“等周問題”的重要結(jié)論:在周長(zhǎng)相同的所有封閉平面曲線中,以圓所圍成的面積最大.
“等周問題”雖然較為繁雜,但其根本思想基于下面2個(gè)事實(shí):
事實(shí)1:等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)圖形為正n邊形時(shí),其面積最大;
事實(shí)2:等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí),其面積也越大.
為了理解這些事實(shí)的合理性,曙光數(shù)學(xué)小組走出校門展開了下列課題研究.請(qǐng)你幫助他們解決其中的一些問題.
現(xiàn)有長(zhǎng)度為100m的籬笆(可彎曲圍成一個(gè)區(qū)域).
(1)如果用籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形雞場(chǎng),怎樣圍才能使雞場(chǎng)的面積最大?為什么?
(2)如果用籬笆圍成一個(gè)正五邊形雞場(chǎng),那么與(1)中的正方形雞場(chǎng)比較,哪個(gè)面積更大?請(qǐng)?jiān)谑聦?shí)1的基礎(chǔ)上證明事實(shí)2:“等周長(zhǎng)n邊形的面積,當(dāng)邊數(shù)n越大時(shí),其面積也越大.”
(3)利用事實(shí)1和事實(shí)2,請(qǐng)對(duì)“等周問題”的重要結(jié)論作出較為合理的解釋.
(4)愛動(dòng)腦筋的小明提出一個(gè)問題:如果借用一條充分長(zhǎng)的直墻,將籬笆圍成一個(gè)四邊形雞場(chǎng),為了使雞場(chǎng)的面積盡量大,所圍成的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)是寬的2倍(如圖).你覺得他講的是否有道理?你有沒有更好的方法,使圍成的四邊形雞場(chǎng)的面積更大?如果有,請(qǐng)說明你的方法.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案