數(shù)學家們通過長期的研究,得到了關(guān)于“等周問題”的重要結(jié)論:在周長相同的所有封閉平面曲線中,以圓所圍成的面積最大.
“等周問題”雖然較為繁雜,但其根本思想基于下面2個事實:
事實1:等周長n邊形的面積,當圖形為正n邊形時,其面積最大;
事實2:等周長n邊形的面積,當邊數(shù)n越大時,其面積也越大.
為了理解這些事實的合理性,曙光數(shù)學小組走出校門展開了下列課題研究.請你幫助他們解決其中的一些問題.
現(xiàn)有長度為100m的籬笆(可彎曲圍成一個區(qū)域).
(1)如果用籬笆圍成一個長方形雞場,怎樣圍才能使雞場的面積最大?為什么?
(2)如果用籬笆圍成一個正五邊形雞場,那么與(1)中的正方形雞場比較,哪個面積更大?請在事實1的基礎(chǔ)上證明事實2:“等周長n邊形的面積,當邊數(shù)n越大時,其面積也越大.”
(3)利用事實1和事實2,請對“等周問題”的重要結(jié)論作出較為合理的解釋.
(4)愛動腦筋的小明提出一個問題:如果借用一條充分長的直墻,將籬笆圍成一個四邊形雞場,為了使雞場的面積盡量大,所圍成的長方形雞場的長是寬的2倍(如圖).你覺得他講的是否有道理?你有沒有更好的方法,使圍成的四邊形雞場的面積更大?如果有,請說明你的方法.

解:(1)設(shè)長為xm,寬為(50-x)m,則S=x•(50-x)=-(x-25)2+625,所以當每條邊長為25m時,才能使長方形雞場的面積最大;

(2)正五邊形雞場面積更大;
對于事實2,我們給出下述證明:

如圖1、2,設(shè)正n邊形A1A2An與正(n+1)邊形A1A2An+1的周長相等,下面我們證明.在邊A1A2上任取一點(異于點A1、A2),這樣我們可以把A1A2An看成是(n+1)邊形A1CA2An,但它顯然不是正(n+1)邊形,它的周長與正(n+1)邊形A1A2An+1的周長相等,根據(jù)事實1,,即
所以,等周長n邊形的面積,當邊數(shù)n越大時,其面積也越大;

(3)在周長相同的情況下,曲線圍成正多邊形面積較大;
正多邊形的邊數(shù)越大,圖形越接近于圓,面積也越大,當邊數(shù)無限增大時,正多邊形無限地接近于圓,面積越來越接近于一個固定的值,這個值就是所圍成的圓的面積;

(4)他講的有道理.
設(shè)寬為xm,長為(100-2x)m,
則S=x•(100-2x)=-2(x-25)2+1250,
所以當長為寬的2倍時,才能使長方形雞場的面積最大.
有更好的方法:

如圖4,如果將圖1中的點A、D分別向外移動.
那么ABCD仍然是四邊形,而將四邊形沿墻反射過來,這樣就得到一個新的封閉六邊形BCDC′B′A,它的周長等于原籬笆長度的兩倍.
所以當六邊形BCDC′B′A為正六邊形,即AB=BC=CD,且∠BAD=∠CDA=60°,∠ABC=∠DCB=120°時,六邊形BCDC′B′A的面積最大.
因而其一半即四邊形ABCD的面積也最大.由于周長相等,
因此圖4中正六邊形BCDC′B′A的面積大于圖3中正方形BCC′B′的面積,
所以圖4中四邊形ABCD的面積大于圖3中四邊形ABCD的面積.
分析:(1)設(shè)一邊的長為x,用它表示另一邊及面積,運用函數(shù)性質(zhì)求解;
(2)、(3)可運用割圓術(shù)的思路,在某一個多邊形的基礎(chǔ)上把一邊分成兩邊,細化下去便是圓;
(4)由(1)知小明講的有道理.
點評:此題檢測學生理解知識和運用知識的能力,考查學生的自主學習能力,因為理論性較強,所以宜作競賽題使用.
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1
12
-
1
15
=
1
10
-
1
12
,這樣的三個數(shù)我們稱之為一組和諧數(shù).假設(shè)現(xiàn)有一組和諧數(shù):x、6、4,則x的值為
 

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