如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(0,4),點(diǎn)A在線段OP上,點(diǎn)B在x軸正半軸上,且AP=OB=t, 0<t<4,以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD;過(guò)點(diǎn)C、D依次向x軸、y軸作垂線,垂足為M,N,設(shè)過(guò)O,C兩點(diǎn)的拋物線為y=ax2+bx+c.
(1)填空:△AOB≌△       ≌△BMC(不需證明);用含t的代數(shù)式表示A點(diǎn)縱坐標(biāo):A(0,       ;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo),并用含a,t的代數(shù)式表示b;
(3)當(dāng)t=1時(shí),連接OD,若此時(shí)拋物線與線段OD只有唯一的公共點(diǎn)O,求a的取值范圍;
(4)當(dāng)拋物線開(kāi)口向上,對(duì)稱軸是直線,頂點(diǎn)隨著t的增大向上移動(dòng)時(shí),求t的取值范圍.

(1)DNA或△DPA;;(2)C(4,t),;(3)a>0或a<<a<0;(4)
0<t≤

解析試題分析:(1)根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得:△AOB≌△DNA或DPA≌△BMC;根據(jù)圖中相關(guān)線段間的和差關(guān)系來(lái)求點(diǎn)A的坐標(biāo):
∵∠DNA=∠AOB=90°,∴∠NAD=∠OBA(同角的余角相等).
在△AOB與△DNA中,∵,∴△AOB≌△DNA(SAS).
同理△DNA≌△BMC.
∵點(diǎn)P(0,4),AP=t,∴
(2)利用(1)中的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等易推知:OM=OB+BM=t+=4,則C(4,t).把點(diǎn)O、C的坐標(biāo)分別代入拋物線y=ax2+bx+c可以求得確.
(3)利用待定系數(shù)法求得直線OD的解析式.與拋物線聯(lián)立方程組,解得x=0或
對(duì)于拋物線的開(kāi)口方向進(jìn)行分類討論,即a>0和a<0兩種情況下的a的取值范圍.
(4)根據(jù)拋物線的解析式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)是.結(jié)合已知條件求得a=,故頂點(diǎn)坐標(biāo)為.由拋物線的性質(zhì)知:只與頂點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān),故t的取值范圍為:0<t≤
試題解析:解:(1)DNA或△DPA;.
(2)由題意知,NA=OB=t,則OA=
∵△AOB≌△BMC,∴CM="OB=t." ∴OM=OB+BM=t+="4." ∴C(4,t).
又拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)O、C,
,解得.
(3)當(dāng)t=1時(shí),拋物線為,NA=OB=1,OA=3.
∵△AOB≌△DNA,∴DN=OA=3.
∵D(3,4),∴直線OD為:
聯(lián)立方程組,得,消去y,得
解得,x=0或.
所以,拋物線與直線OD總有兩個(gè)交點(diǎn).
討論:①當(dāng)a>0時(shí),>3,只有交點(diǎn)O,所以a>0符合題意;
②當(dāng)a<0時(shí),若>3,則a<;
<0,則得a>.∴<a<0.
綜上所述,a的取值范圍是a>0或a<<a<0.
(4)∵拋物線為,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是
又∵對(duì)稱軸是直線x=,∴a=.
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為:,即
∵拋物線開(kāi)口向上,且隨著t的增大,拋物線的頂點(diǎn)向上移動(dòng),
∴只與頂點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān),∴t的取值范圍為:0<t≤

考點(diǎn):1.二次函數(shù)綜合題;2.線動(dòng)平移問(wèn)題;3.全等三角形的判定和性質(zhì);4.待定系數(shù)法的應(yīng)用;5.曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系;6.二次函數(shù)的性質(zhì);7.平移的性質(zhì);8.分類思想的應(yīng)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

有一個(gè)二次函數(shù)的圖象,三位學(xué)生分別說(shuō)出了它的一些特點(diǎn).
甲:對(duì)稱軸是直線x=4;
乙:與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù);
丙:與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù),且以這三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為3;
請(qǐng)寫出滿足上述全部特點(diǎn)的二次函數(shù)解析式:          

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知直線過(guò)點(diǎn),軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn),的垂直平分線交于點(diǎn),交軸于點(diǎn)
(1)直接寫出直線的解析式;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè),的面積為,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;并求出S的最大值;
(3)當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上(Q與A、B不重合)時(shí),直線過(guò)點(diǎn)A且與x軸平行,問(wèn)在上是否存在點(diǎn)C,使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),并證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,拋物線y=x2+mx+(m﹣1)與x軸交于點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),x1<x2,與y軸交于點(diǎn)C(0,c),且滿足x12+x22+x1x2=7.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線上能不能找到一點(diǎn)P,使∠POC=∠PCO?若能,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知拋物線y=ax2+x+c(a≠0)經(jīng)過(guò)A(﹣1,0),B(2,0)兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)M,對(duì)稱軸與BC相交于點(diǎn)N,與x軸交于點(diǎn)D.
(1)求該拋物線的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)連接ON,AC,證明:∠NOB=∠ACB;
(3)點(diǎn)E是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn),且位于第一象限,當(dāng)點(diǎn)E到直線BC的距離為時(shí),求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(4)在滿足(3)的條件下,連接EN,并延長(zhǎng)EN交y軸于點(diǎn)F,E、F兩點(diǎn)關(guān)于直線BC對(duì)稱嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,拋物線C1:y=(x+m)2(m為常數(shù),m>0),平移拋物線y=﹣x2,使其頂點(diǎn)D在拋物線C1位于y軸右側(cè)的圖象上,得到拋物線C2.拋物線C2交x軸于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),交y軸于點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a.

(1)如圖1,若m=
①當(dāng)OC=2時(shí),求拋物線C2的解析式;
②是否存在a,使得線段BC上有一點(diǎn)P,滿足點(diǎn)B與點(diǎn)C到直線OP的距離之和最大且AP=BP?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)如圖2,當(dāng)OB=2﹣m(0<m<)時(shí),請(qǐng)直接寫出到△ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點(diǎn)的坐標(biāo)(用含m的式子表示).

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已知拋物線與x軸交點(diǎn)為A、B(點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)試用含m的代數(shù)式表示A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè),點(diǎn)C在原點(diǎn)的下方時(shí),若是等腰三角形,求拋物線的解析式;
(3)已知一次函數(shù),點(diǎn)P(n,0)是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在(2)的條件下,過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸的直線交這個(gè)一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N,若只有當(dāng)時(shí),點(diǎn)M位于點(diǎn)N的下方,求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在△ABC中,∠BAC=90°, BC∥x軸,拋物線y=ax2-2ax+3經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),并且與x軸交于點(diǎn)D、E,點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式;
(2)連接CD,在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P使△PCD為直角三角形,若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,已知二次函數(shù)y=a(x2-6x+8)(a>0)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若S△ABC=8,則過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓是否與拋物線有第四個(gè)交點(diǎn)D?若存在,求出D點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
(3)將△OAC沿直線AC翻折,點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O'.
①若O'落在該拋物線的對(duì)稱軸上,求實(shí)數(shù)a的值;
②是否存在正整數(shù)a,使得點(diǎn)O'落在△ABC的內(nèi)部,若存在,求出整數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

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