Question

已知關(guān)于x的方程，
（1）求證：無論k取任意實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（4分）
（2）若等腰三角形ABC的一邊a＝3，另兩邊長(zhǎng)b、c恰是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng).（6分）

Answer 1

（1）證明見解析；（2）7或8．

試題分析：（1）把一元二次方程根的判別式轉(zhuǎn)化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程總有實(shí)數(shù)根；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論求出b，c的長(zhǎng)，并根據(jù)三角形三邊關(guān)系檢驗(yàn)，綜合后求出△ABC的周長(zhǎng)．
試題解析：（1）∵，
∴無論k取任意實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）分兩種情況：
①若b=c，
∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴，解得k=2.
∴此時(shí)方程為=0，解得x₁=x₂=2.
∴△ABC的周長(zhǎng)為7.
②若b≠c，則b=a=3或c=a=3，即方程有一根為3，
∵把x=1代入方程，得，解得k=3.
∴此時(shí)方程為，解得x₁=2，x₂="3" ∴方程另一根為2.
∴△ABC的周長(zhǎng)為8．
綜上所述，所求△ABC的周長(zhǎng)為7或8．