定義:我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”.
性質(zhì):如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”,那么這兩個(gè)三角形的面積相等.
理解:如圖①,在△ABC中,CD是AB邊上的中線,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD
應(yīng)用:如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)E在AD上,點(diǎn)F在BC上,AE=BF,AF與BE交于點(diǎn)O.
(1)求證:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)連接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四邊形CDOF的面積.
探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,點(diǎn)D在線段AB上,連接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,將△ACD沿CD所在直線翻折,得
到△A′CD,若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,請(qǐng)直接寫出△ABC的面積.

【答案】分析:(1)利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,得到四邊形ABFE是平行四邊形,然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB,即可證得△AOE和△AOB是友好三角形;
(2)△AOE和△DOE是“友好三角形”,即可得到E是AD的中點(diǎn),則可以求得△ABE、△ABF的面積,根據(jù)S四邊形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解.
探究:畫出符合條件的兩種情況:①求出四邊形A′DCB是平行四邊形,求出BC和A′D推出∠ACB=90°,根據(jù)三角形面積公式求出即可;②求出高CQ,求出△A′DC的面積.即可求出△ABC的面積.
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∵AE=BF,
∴四邊形ABFE是平行四邊形,
∴OE=OB,
∴△AOE和△AOB是友好三角形.

(2)解:∵△AOE和△DOE是友好三角形,
∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=3,
∵△AOB與△AOE是友好三角形,
∴S△AOB=S△AOE
∵△AOE≌△FOB,
∴S△AOE=S△FOB,
∴S△AOD=S△ABF
∴S四邊形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12.

探究:
解:分為兩種情況:①如圖1,

∵S△ACD=S△BCD
∴AD=BD=AB,
∵沿CD折疊A和A′重合,
∴AD=A′D=AB=4=2,
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC
∴DO=OB,A′O=CO,
∴四邊形A′DCB是平行四邊形,
∴BC=A′D=2,
過B作BM⊥AC于M,
∵AB=4,∠BAC=30°,
∴BM=AB=2=BC,
即C和M重合,
∴∠ACB=90°,
由勾股定理得:AC==2,
∴△ABC的面積是×BC×AC=×2×2=2;
②如圖2,

∵S△ACD=S△BCD
∴AD=BD=AB,
∵沿CD折疊A和A′重合,
∴AD=A′D=AB=4=2,
∵△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC
∴DO=OA′,BO=CO,
∴四邊形A′BDC是平行四邊形,
∴BD=A′C=2,
過C作CQ⊥A′D于Q,
∵A′C=2,∠DA′C=∠BAC=30°,
∴CQ=A′C=1,
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2;
即△ABC的面積是2或2
點(diǎn)評(píng):本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定,三角形的面積,勾股定理的應(yīng)用,解這個(gè)題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知題意和所學(xué)的定理進(jìn)行推理.題目比較好,但是有一定的難度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•沈陽)定義:我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”.
性質(zhì):如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”,那么這兩個(gè)三角形的面積相等.
理解:如圖①,在△ABC中,CD是AB邊上的中線,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD
應(yīng)用:如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)E在AD上,點(diǎn)F在BC上,AE=BF,AF與BE交于點(diǎn)O.
(1)求證:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)連接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四邊形CDOF的面積.
探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,點(diǎn)D在線段AB上,連接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,將△ACD沿CD所在直線翻折,得
到△A′CD,若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的
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,請(qǐng)直接寫出△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年遼寧省遼陽市高級(jí)中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué) 題型:044

定義:我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”

性質(zhì):如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”,那么這兩個(gè)三角形的面積相等,

理解:如圖①,在△ABC中,CD是AB邊上的中線,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD

應(yīng)用:如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)E在AD上,點(diǎn)F在BC上,AE=BF,AF與BE交于點(diǎn)O,

(1)求證:△AOB和△AOE是“友好三角形”;

(2)連接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四邊形CDOF的面積,

探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,點(diǎn)D在線段AB上,連接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,將△ACD沿CD所在直線翻折,得到△CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,請(qǐng)直接寫出△ABC的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試(遼寧沈陽卷)數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題

定義:我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”.

性質(zhì):如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”,那么這兩個(gè)三角形的面積相等.

理解:如圖①,在△ABC中,CD是AB邊上的中線,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且SACD=SBCD

應(yīng)用:如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)E在AD上,點(diǎn)F在BC上,AE=BF,AF與BE交于點(diǎn)O.

(1)求證:△AOB和△AOE是“友好三角形”;

(2)連接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四邊形CDOF的面積.

探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,點(diǎn)D在線段AB上,連接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,將△ACD沿CD所在直線翻折,得到△A′CD,若△A′CD與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的,請(qǐng)直接寫出△ABC的面積.

 

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義:我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”

  性質(zhì):如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”,那么這兩個(gè)三角形的面積相等,

  理解:如圖①,在中,CD是AB邊上的中線,那么是“友好三角形”,并且。

  應(yīng)用:如圖②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)E在AD上,點(diǎn)F在BC上,AE=BF,AF與BE交于點(diǎn)O,

(1)       求證: 是“友好三角形”;

(2)       連接OD,若是“友好三角形”,求四邊形CDOF的面積,

  探究:在中,,AB=4,點(diǎn)D在線段AB上,連接CD,是“友好三角形”,將沿CD所在直線翻折,得到重合部分的面積等于面積的,請(qǐng)直接寫出的面積。

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