如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交AD于E，交BA的延長(zhǎng)線于精英家教網(wǎng)點(diǎn)F．
問：（1）圖中△APD與哪個(gè)三角形全等？試證明之；
（2）△APE與哪個(gè)三角形相似？試證明之；
（3）如果PE=4，EF=5，求線段PC的長(zhǎng)．
分析：（1）△APD與△CPD全等．根據(jù)菱形的性質(zhì)可以找到全等條件；
（2）△APE∽△FPA，根據(jù)（1）的結(jié)論知道∠DCP=∠DAP，而根據(jù)CD∥AF得到∠F=∠DAP，這樣就可以證明它們相似；（3）根據(jù)（1），（2）可以得到PC=PA=
PE•PF
=6．
解答：解：（1）△APD≌△CPD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=DA，∠CDP=∠ADP，DP公共．
∴△APD≌△CPD．

（2）△APE∽△FPA．
∵根據(jù)（1）的結(jié)論知道∠DCP=∠DAP，而CD∥AF，
∴∠F=∠DAP，
由（1）△APD≌△CPD，可得∠DCR=∠DAP，
∴∠F=∠DCP，
∴APE∽△FPA．

（3）根據(jù)（1），（2）可以得到PC=PA=
PE•PF
=6．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形、相似三角形和全等三角形的性質(zhì)與判定．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，點(diǎn)F是菱形ABDC對(duì)角線BC上一動(dòng)點(diǎn)，EF∥AB，GF∥AC，菱形兩條對(duì)角線BC和AD的長(zhǎng)分別為2cm、5cm，當(dāng)點(diǎn)F在BC上移動(dòng)時(shí)，陰影面積會(huì)改變嗎？如果不變，請(qǐng)求出陰影部分的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交AD于E，交BA的延精英家教網(wǎng)長(zhǎng)線于F．
（1）求證：∠DCP=∠DAP；
（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求對(duì)角線BD的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•蘇州）如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接DP并延長(zhǎng)DP交邊AB于點(diǎn)E，連接BP并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)F，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
（1）求證：△APB≌△APD；
（2）已知DF：FA=1：2，設(shè)線段DP的長(zhǎng)為x，線段PF的長(zhǎng)為y．
①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)x=6時(shí)，求線段FG的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2013屆湖北省襄陽市襄州區(qū)中考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（帶解析） 題型：解答題

如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：∠DCP＝∠DAP；
（2）若AB=2，DP∶PB＝1∶2，且PA⊥BF,求對(duì)角線BD的長(zhǎng).

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖北省襄陽市襄州區(qū)中考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：∠DCP＝∠DAP；

（2）若AB=2，DP∶PB＝1∶2，且PA⊥BF,求對(duì)角線BD的長(zhǎng).

 

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