Question

直線y=kx-6過點(diǎn)A（1，-4），與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，且交y軸于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如果點(diǎn)P在x軸上，且△ACD與△PBC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如果直線l與直線y=kx-6關(guān)于直線BC對稱，求直線l的表達(dá)式．

 

 

Answer 1

（1）y=x2-2x-3；（2）y=x-．

【解析】

試題分析：（1）將A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k的值，進(jìn)而求出B坐標(biāo)，根據(jù)A為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)出拋物線頂點(diǎn)形式，將B坐標(biāo)代入求出a的值，確定出拋物線解析式；

（2）由k的值確定出一次函數(shù)解析式，求出D的坐標(biāo)，由拋物線解析式求出C坐標(biāo)，由A的坐標(biāo)得到∠DCA=45°，且AC=，CD=3，根據(jù)B與C坐標(biāo)得到∠OCB=45°，可得出∠DCA=∠OCB，由△ACD與△PBC相似，且點(diǎn)P在x軸上，得到點(diǎn)P在B點(diǎn)的左側(cè)，分兩種情況考慮：當(dāng)△BPC∽△ACD時(shí)；當(dāng)△BCP∽△CAD時(shí)，分別求出BP的長，即可確定出P的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)D作DH⊥BC并延長DH到點(diǎn)M，使HM=HD，連接CM、BM，可得直線BM即為直線l，且CM=CD，∠MCH=∠DCH，根據(jù)C與D坐標(biāo)得到CM=CD，根據(jù)B與C坐標(biāo)得到三角形BOC為等腰直角三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB=45°，進(jìn)而得到∠MCH=45°，∠MCD=90°，得出MC⊥y軸，確定出M坐標(biāo)，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，將B與M坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出直線l解析式．

試題解析：（1）∵y=kx-6過點(diǎn)A（1，-4），

∴-4=k-6，

∴k=2，即y=2x-6，

令y=0，得到x=3，即B（3，0），

∵以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，

∴設(shè)解析式為y=a（x-1）2-4，

將x=3，y=0代入得：0=a（3-1）2-4，

解得：a=1，

∴拋物線的表達(dá)式為y=x2-2x-3；

（2）∵k=2，

∴y=kx-6，即y=2x-6，

∴D（0，-6），

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，

∴C（0，-3），

∵A（1，-4），

∴∠DCA=45°，且AC=，CD=3，

∵B（3，0），C（0，-3），

∴∠OCB=45°，

∴∠DCA=∠OCB，

∵△ACD與△PBC相似，且點(diǎn)P在x軸上，

∴點(diǎn)P在B點(diǎn)的左側(cè)，

當(dāng)△BPC∽△ACD時(shí)，，即，解得：BP=2；

當(dāng)△BCP∽△CAD時(shí)，，即，解得：BP=9，

∴BP=2或9，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0）或（-6，0）；

（3）過點(diǎn)D作DH⊥BC并延長DH到點(diǎn)M，使HM=HD，連接CM、BM，

∴直線BM即為直線l，且CM=CD，∠MCH=∠DCH，

∵C（0，-3），D（0，-6），

∴CM=CD=3，

∵B（3，0），C（0，-3），

∴∠OCB=45°，

∴∠DCH=∠OCB=45°，

∴∠MCH=45°，

∴∠MCD=90°，即MC⊥y軸，

∵MC=CD=3，

∴M（-3，-3），

設(shè)直線l的解析式為y=kx+b，則，

解得：，

∴直線l的解析式為y=x-．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．