Question

某研究性學(xué)習(xí)小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形ABCD的對角線交點O旋轉(zhuǎn)（如圖所示）．已知AB=8，BC=10，圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．問：是否存在某一旋轉(zhuǎn)位置，使得CM+CN等于

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5

？若存在，請求出此時DM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：延長NO交AD于點P，連接MN、MP．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得OM是PN的中垂線，在Rt△MDP和在Rt△MCN中，利用勾股定理，即可得到BN²+DM²=CN²+CM²，DM=x，CN=y，即可得到x，y的關(guān)系式，從而求解．

解答：解：延長NO交AD于點P，連接MN、MP．
由“O為矩形ABCD的對角線交點”，通過全等或旋轉(zhuǎn)對稱可得BN=DP，OP=ON．（1分）
∴OM垂直平分PN．∴MP=MN．（2分）
在Rt△MDP中，MP²=DP²+DM²，
在Rt△MCN中，MN²=CN²+CM²，（3分）
又∵MP=MN，BN=DP，
∴BN²+DM²=CN²+CM²．（4分）
若設(shè)DM=x，CN=y，則CM=8-x，BN=10-y．
∴（10-y）²+x²=y²+（8-x）²．化簡得y=

4

5

x+

9

5

．（6分）
∴CM+CN=8-x+y=8-x+

4

5

x+

9

5

=

49

5

-

1

5

x．（7分）
由題意得

49

5

-

1

5

x=

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5

，（8分）
解得x=5．
∴當(dāng)DM=5時，CM+CN等于

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5

．（9分）

點評：本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理證得BN²+DM²=CN²+CM²是解題的關(guān)鍵．