Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD與BC延長線交于點F，G是DC延長線上一點，AG⊥BC于E．
（1）求證：CF=CG；
（2）連接DE，若

AF

AB

=

3

4

，CD=2，求DE的長．

Answer 1

考點：直角梯形,全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AC，證△ADC≌△AEC，推出DC=CE，再證△FDC≌△GEC即可；
（2）過E作EM⊥AF于M，設(shè)AF=3x，AB=BC=4x，在Rt△FAB中，由勾股定理求出BF=5x，求出FC=CG=x，證△FDC∽△FAB，求出x，通過相似求出CE，證
△FCD∽△FEM求出DM，ME，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：連接AC，
∵AB=BC，
∴∠BCA=∠CAB，
∵DC∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DCA=∠BCA，
∵AD⊥DC，AB∥DC，
∴∠FDC=∠DAB=∠ADC=90°，
∵AG⊥BC，
∴∠CEG=∠CEA=∠ADC=90°，
在△ADC和△AEC中，

∠DCA=∠ECA ∠ADC=∠AEC AC=AC

，
∴△ADC≌△AEC（AAS），
∴CD=CE，
∵∠FDC=∠CEG=90°，
在△FDC和△GEC中，

∠FDC=∠CEG DC=CE ∠FCD=∠GCE

，
∴△FDC≌△GEC（ASA），
∴CF=CG．

（2）解：過E作EM⊥AF于M，
設(shè)AF=3x，AB=BC=4x，在Rt△FAB中，由勾股定理得：BF=5x，
則FC=5x-4x=x=CG，
∵DC∥AB，
∴△FDC∽△FAB，
∴

DC

AB

=

FC

FB

，
∴

2

4x

=

x

5x

，
x=2.5，
∴FC=CG=2.5，AB=BC=10，
在Rt△FDC中，DC=2，F(xiàn)C=2.5，由勾股定理得：FD=1.5，
FE=FC+CE=2.5+2，
∵DC∥AB，
∴△FCD∽△FEM，
∴

DC

ME

=

FC

FE

=

FD

FM

∴

2

ME

=

2.5

2+2.5

=

1.5

1.5+DM

∴ME=3.6，DM=1.2，
在Rt△DME中，由勾股定理得：DE=

DM2+ME2

=

1．22+3．62

=

6

5

10

．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，題目比較好，但是有一點的難度．