Question

一位同學拿了兩塊45°三角尺△MNK，△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設AC=BC=4．

（1）如圖（1），兩三角尺的重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積為       ，
（2）將圖（1）中的△MNK繞頂點M逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到圖（2），此時重疊部分的面積為           ，
（3）如果將△MNK繞M旋轉(zhuǎn)到不同于圖（1）和圖（2）的圖形，如圖（3），請你求此時重疊部分的面積

Answer 1

(1)4；(2)4；（3）4．

試題分析：（1）利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得CM⊥AB，AM=CM=AB，然后求解即可；
（2）設MN與AC的交點為D，BC與MK的交點為G，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角是45°求出∠AMD=45°，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出DM∥BC，從而判定DM是△ABC的中位線，然后求出DM=BC，同理求出MG=AC，判斷出四邊形DCGM是正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出面積即可；
（3）過點M作ME⊥AC于E，作MF⊥BC于F，可得四邊形ECMF是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得ME=MF，再根據(jù)同角的余角相等求出∠DME=∠GMF，然后利用“角邊角”證明△DME和△GMF全等，根據(jù)全等三角形面積相等可得△DME和△GMF的面積相等，然后求出陰影部分的面積等于正方形ECMF的面積，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出ME，然后求解即可．
試題解析：（1）∵AC=BC=4，∴AB==，∵M是AB的中點，∴CM⊥AB，AM=CM=AB=，∴陰影部分的面積=AM•CM=；
（2）設MN與AC的交點為D，BC與MK的交點為G，∵旋轉(zhuǎn)角是45°，∴∠AMD=45°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∴∠AMD=∠B=45°，∴DM∥BC，∵M是AB的中點，∴DM是△ABC的中位線，∴DM=BC=×4=2，同理可得，MG=AC=×4=2，∴四邊形DCGM是正方形，∴陰影部分的面積=2²=4；
（3）如圖，過點M作ME⊥AC于E，作MF⊥BC于F，∵M是等腰直角△ABC斜邊AB的中點，∴四邊形ECMF是正方形，∴ME=MF，∵∠DME+∠EMG=∠NMK=90°，∠GMF+∠EMG=∠EMF=90°，∴∠DME=∠GMF，在△DME和△GMF中，，∴△DME≌△GMF（ASA），∴S_△DME=S_△GMF，∴陰影部分的面積=正方形ECMF的面積，∵M是AB的中點，∴ME是△ABC的中位線，∴ME=BC=×4=2，∴正方形ECMF的面積=2²=4，∴陰影部分的面積=4．