Question

14．已知：等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，且BD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，則CD=2或4．

Answer 1

分析 ①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得DE的長(zhǎng)，根據(jù)正弦函數(shù)，可得∠CAD的度數(shù)，根據(jù)等邊三角形，可得CD的長(zhǎng)；
②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得DE的長(zhǎng)，根據(jù)正弦函數(shù)，可得∠EAD的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得A、C、D在同一條直線上，根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答 解：如圖1：

由BD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，得
AD=AB=AC=2．
由等腰三角形的性質(zhì)，得
DE=$\sqrt{3}$．
sin∠DAE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∠DAE=60°，△ACD是等邊三角形，
CD=AC=2；
如圖2：
，
由BD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，得
AD=AB=AC=2．
由等邊三角形的性質(zhì)，得
DE=$\sqrt{3}$，∠DAE=∠BAE．
sin∠DAE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∠DAE=∠BAE=60°，
AD與AC在同一條直線上，
CD=AC=2；
CD=AD+AC=2+2=4．
故答案為：2或4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外心，利用等腰三角形的性質(zhì)得出DE=$\sqrt{3}$，∠DAE=∠BAE是解題關(guān)鍵．