(2011•廣州)如圖1,⊙O中AB是直徑,C是⊙O上一點(diǎn),∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,點(diǎn)D在線段AC上.
(1)證明:B、C、E三點(diǎn)共線;
(2)若M是線段BE的中點(diǎn),N是線段AD的中點(diǎn),證明:MN=OM;
(3)將△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)后,記為△D1CE1(圖2),若M1是線段BE1的中點(diǎn),N1是線段AD1的中點(diǎn),M1N1=OM1是否成立?若是,請(qǐng)證明;若不是,說(shuō)明理由.
(1)證明:∵AB是直徑,
∴∠BCA=90°,
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,
∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°,
∴B、C、E三點(diǎn)共線;
(2)連接BD,AE,ON,延長(zhǎng)BD交AE于F,如圖,

∵CB=CA,CD=CE,
∴Rt△BCD≌Rt△ACE,
∴BD=AE,∠EBD=∠CAE,
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BD⊥AE,
又∵M(jìn)是線段BE的中點(diǎn),N是線段AD的中點(diǎn),而O為AB的中點(diǎn),
∴ON=BD,OM=AE,ON∥BD,AE∥OM;
∴ON=OM,ON⊥OM,即△ONM為等腰直角三角形,
∴MN=OM;
(3)成立.理由如下:
和(2)一樣,易證得Rt△BCD1≌Rt△ACE1,同里可證BD1⊥AE1,△ON1M1為等腰直角三角形,
從而有M1N1=OM1
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