如圖,矩形OABC在平面直角坐標系xoy中,點A在x軸的正半軸上,點C在y軸的正半軸上,OA=4,OC=3,若拋物線的頂點在BC邊上,且拋物線經(jīng)過O、A兩點,直線AC交拋物線于點D。
(1)求拋物線的解析式;
(2)求點D的坐標;
(3)若點M在拋物線上,點N在x軸上,是否存在以點A、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點N的坐標;若不存在,請說明理由。

(1)y=﹣x2+3x;(2)(1,);(3)N1(2,0),N2(6,0),N3(﹣﹣1,0),N4﹣1,0).

解析試題分析:(1)由OA的長度確定出A的坐標,再利用對稱性得到頂點坐標,設出拋物線的頂點形式y(tǒng)=a(x-2)2+3,將A的坐標代入求出a的值,即可確定出拋物線解析式;
(2)設直線AC解析式為y=kx+b,將A與C坐標代入求出k與b的值,確定出直線AC解析式,與拋物線解析式聯(lián)立即可求出D的坐標;
(3)存在,分兩種情況考慮:如圖所示,當四邊形ADMN為平行四邊形時,DM∥AN,DM=AN,由對稱性得到M(3, ),即DM=2,故AN=2,根據(jù)OA+AN求出ON的長,即可確定出N的坐標;當四邊形ADM′N′為平行四邊形,可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P,M′P=DQ=,N′P=AQ=3,將y=-代入得:-=-x2+3x,求出x的值,確定出OP的長,由OP+PN′求出ON′的長即可確定出N′坐標.
試題解析:(1)設拋物線頂點為E,根據(jù)題意OA=4,OC=3,得:E(2,3),
設拋物線解析式為y=a(x﹣2)2+3,
將A(4,0)坐標代入得:0=4a+3,即a=﹣,
則拋物線解析式為y=﹣(x﹣2)2+3=﹣x2+3x;
(2)設直線AC解析式為y=kx+b(k≠0),
將A(4,0)與C(0,3)代入得:,
解得:,故直線AC解析式為y=﹣x+3,
與拋物線解析式聯(lián)立得:,解得:,
則點D坐標為(1,);
(3)存在,分兩種情況考慮:
①當點M在x軸上方時,如答圖1所示:

四邊形ADMN為平行四邊形,DM∥AN,DM=AN,
由對稱性得到M(3,),即DM=2,故AN=2,∴N1(2,0),N2(6,0);
②當點M在x軸下方時,如答圖2所示:

過點D作DQ⊥x軸于點Q,過點M作MP⊥x軸于點P,可得△ADQ≌△NMP,
∴MP=DQ=,NP=AQ=3,將yM=﹣代入拋物線解析式得:﹣=﹣x2+3x,
解得:xM=2﹣或xM=2+,∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1,
∴N3(﹣﹣1,0),N4﹣1,0).
綜上所述,滿足條件的點N有四個:N1(2,0),N2(6,0),N3(﹣﹣1,0),N4﹣1,0).
考點:二次函數(shù)綜合題.

練習冊系列答案
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如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx(a<0)的圖象過坐標原點O,與x軸的負半軸交于點A,過A點的直線與y軸交于B,與二次函數(shù)的圖象交于另一點C,且C點的橫坐標為﹣1,AC:BC=3:1.
(1)求點A的坐標;
(2)設二次函數(shù)圖象的頂點為F,其對稱軸與直線AB及x軸分別交于點D和點E,若△FCD與△AED相似,求此二次函數(shù)的關(guān)系式.

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如圖,拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點D,已知A(﹣1,0),C(0,2).
(1)求拋物線的表達式;
(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點的坐標;如果不存在,請說明理由;
(3)點E時線段BC上的一個動點,過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當點E運動到什么位置時,四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標.

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如圖,拋物線y=ax2 + bx + c 交x軸于A、B兩點,交y軸于點C,對稱軸為直線x=1,已知:A(-1,0)、C(0,-3)。
(1)求拋物線y= ax2 + bx + c 的解析式;
(2)求△AOC和△BOC的面積比;
(3)在對稱軸上是否存在一個P點,使△PAC的周長最小。若存在,請你求出點P的坐標;若不存在,請你說明理由。

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如圖,拋物線經(jīng)過A、C(0,4)兩點,與x軸的另一交點是B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點在第一象限的拋物線上,求點D關(guān)于直線BC的對稱點的坐標;
(3)在(2)的條件下,過點D作DE⊥BC于點E,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點E,點在此反比例函數(shù)圖象上,求的值.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知拋物線與x軸交于點、C,與y軸交于點B(0,3),拋物線的頂點為p。
(1)求拋物線的解析式;
(2)若拋物線向下平移k個單位后經(jīng)過點(-5,6)。
①求k的值及平移后拋物線所對應函數(shù)的最小值;
②設平移后拋物線與y軸交于點D,頂點為Q,點M是平移后的拋物線上的一個動點。請?zhí)骄浚寒旤cM在何處時,△MBD的而積是△MPQ面積的2倍?求出此時點M的坐標。

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復習課中,教師給出關(guān)于x的函數(shù)(k是實數(shù)).
教師:請獨立思考,并把探索發(fā)現(xiàn)的與該函數(shù)有關(guān)的結(jié)論(性質(zhì))寫到黑板上.
學生思考后,黑板上出現(xiàn)了一些結(jié)論.教師作為活動一員,又補充一些結(jié)論,并從中選擇如下四條:
①存在函數(shù),其圖像經(jīng)過(1,0)點;
②函數(shù)圖像與坐標軸總有三個不同的交點;
③當時,不是y隨x的增大而增大就是y隨x的增大而減;
④若函數(shù)有最大值,則最大值必為正數(shù),若函數(shù)有最小值,則最小值必為負數(shù);
教師:請你分別判斷四條結(jié)論的真假,并給出理由,最后簡單寫出解決問題時所用的數(shù)學方法.

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如圖,拋物線經(jīng)過A(-1,0),B(5,0),C(0,?)三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上有一點P,使PA+PC的值最小,求點P的坐標;
(3)點M為x軸上一動點,在拋物線上是否存在一點N,使以A,C,M,N四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形?若存在,求點N的坐標;若不存在,請說明理由.

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平面直角坐標第xoy中,A點的坐標為(0,5).B、C分別是x軸、y軸上的兩個動點,C從A出發(fā),沿y軸負半軸方向以1個單位/秒的速度向點O運動,點B從O出發(fā),沿x軸正半軸方向以1個單位/秒的速度運動.設運動時間為t秒,點D是線段OB上一點,且BD=OC.點E是第一象限內(nèi)一點,且AEDB.
(1)當t=4秒時,求過E、D、B三點的拋物線解析式.
(2)當0<t<5時,(如圖甲),∠ECB的大小是否隨著C、B的變化而變化?如果不變,求出它的大。
(3)求證:∠APC=45°
(4)當t>5時,(如圖乙)∠APC的大小還是45°嗎?請說明理由.

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