Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AD、BD是半圓的弦，且∠PDA＝∠PBD．

（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）如果∠BDE＝60°，PD＝，求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）連接OD，先根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠ADO＝∠PBD，再由∠PDA＝∠PBD可得∠PBD＝∠BDO，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB＝90°即∠ADO＋∠BDO＝90°，即可證得結(jié)論；（2）1

試題分析：（1）連接OD，先根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠ADO＝∠PBD，再由∠PDA＝∠PBD可得∠PBD＝∠BDO，根據(jù)圓周角定理可得∠ADB＝90°即∠ADO＋∠BDO＝90°，即可證得結(jié)論；
（2）先證得△AOD是等邊三角形，即可得到∠P＝30°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得PD＝2DO，在Rt△POD中，設(shè)OD＝AO＝x，根據(jù)勾股定理即可列方程求得x的值，從而得到結(jié)果.
（1）連接OD，

∵OB＝OD，
∴∠ADO＝∠PBD.
又∵∠PDA＝∠PBD，
∴∠PBD＝∠BDO.
又∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB＝90°即∠ADO＋∠BDO＝90°，
∴∠ADO＋∠PDA＝90°即OD⊥PD
∴PD是⊙O的切線． 
（2）∵∠BDE＝60°，∠ODE＝90°，
∴∠BDO＝30°，
∵∠ADO＋∠BDO＝90°，
∴∠ADO＝60°．
∴△AOD是等邊三角形
∴∠POD＝60°，
∵OD⊥PD，
∴∠P＝30°，
∴PD＝2DO．
在Rt△POD中，設(shè)OD＝AO＝x，則，
∴，解得，（不合題意，舍去），
∴AO＝1，PO＝2，
∴PA＝PO－AO＝1．
點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，是中考常見(jiàn)題，一般難度不大.