Question

（2013•濟(jì)南一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B→C→A方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求AC、BC的長(zhǎng)；
（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm²），當(dāng)△PBQ存在時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC是否相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，設(shè)AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的長(zhǎng)；
（2）分別從當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)與當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)去分析，首先過(guò)點(diǎn)Q作AB的垂線，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得△PBQ的底與高，則可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由PQ⊥AB，可得△APQ∽△ACB，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得△PBQ各邊的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定，即可得以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC不相似．

解答：解：（1）設(shè)AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
即：（4x）²+（3x）²=10²，
解得：x=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；

（2）分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H．
∵AP=x，∴BP=10-x，BQ=2x，
∵△QHB∽△ACB，
∴

QH

AC

=

QB

AB

，
∴QH=

8

5

x，
y=

1

2

BP•QH=

1

2

（10-x）•

8

5

x
=-

4

5

x²+8x（0＜x≤3），
②當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=x，
∴BP=10-x，AQ=14-2x，
∵△AQH′∽△ABC，
∴

AQ

AB

=

QH′

BC

，
即：

14-2x

10

=

QH′

6

，
解得：QH′=

3

5

（14-2x），
∴y=

1

2

PB•QH′=

1

2

（10-x）•

3

5

（14-2x）
=

3

5

x²-

51

5

x+42（3＜x＜7）；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC不相似．理由如下：
∵AP=x，
∴AQ=14-2x，
∵PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ACB，
∴

AP

AC

=

AQ

AB

=

PQ

BC

，
即：

x

8

=

14-2x

10

=

PQ

6

，
解得：x=

56

13

，PQ=

42

13

，
∴PB=10-x=

74

13

，
∴

PQ

PB

=

42 13

74 13

=

21

37

≠

BC

AC

，
∴當(dāng)點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動(dòng)，使PQ⊥AB時(shí)，以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC不相似．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及最短距離問(wèn)題．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．