Question

如圖，拋物線y=ax² + bx + c 交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，對稱軸為直線x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。
（1）求拋物線y= ax² + bx + c 的解析式；
（2）求△AOC和△BOC的面積比；
（3）在對稱軸上是否存在一個P點,使△PAC的周長最小。若存在，請你求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請你說明理由。

Answer 1

（1）y=x²-2x-3．（2）1：3；（3）存在，（1，-2）．

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸即可得出點B的坐標(biāo)，然后將A、B、C三點坐標(biāo)代入拋物線中即可求得二次函數(shù)的解析式．
（2）由于兩三角形等高，那么面積比就等于底邊的比，據(jù)此求解即可．
（3）本題的關(guān)鍵是確定P點的位置，根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點間線段最短，可找出C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，然后連接此點和A，那么這條直線與拋物線對稱軸的交點就是所求的P點．可先求出這條直線的解析式然后聯(lián)立拋物線對稱軸的解析式即可求得P點坐標(biāo)．
試題解析：：（1）∵A，B兩點關(guān)于x=1對稱，
∴B點坐標(biāo)為（3，0），
根據(jù)題意得：
，
解得a=1，b=-2，c=-3．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
（2）△AOC和△BOC的面積分別為S△AOC="1" 2 |OA|•|OC|，S△BOC="1" 2 |OB|•|OC|，
而|OA|=1，|OB|=3，
∴S_△AOC：S_△BOC=|OA|：|OB|=1：3．
（3）存在一個點P．C點關(guān)于x=1對稱點坐標(biāo)C'為（2，-3），
令直線AC'的解析式為y=kx+b
∴，
∴k=-1，b=-1，即AC'的解析式為y=-x-1．
為x=1時，y=-2，
∴P點坐標(biāo)為（1，-2）．