Question

如圖，已知圓錐的底面圓直徑AB為2r（r＞0），母線長OA為3r，C為母線OB的中點，在圓錐的側面上，一只螞蟻從點A爬行到點C的最短路線長為

 

．

Answer 1

考點：平面展開-最短路徑問題,圓錐的計算

專題：計算題

分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結果．

解答：解：由題意知，底面圓的直徑為2r，故底面周長等于2rπ，
設圓錐的側面展開后的扇形圓心角為n，
根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，2rπ=

nπ•3r

180

，
解得：n=120°，
則展開圖中扇形的圓心角為120°，即∠AOA′=120°，
則∠1=60°，
過C作CF⊥OA，
∵C為OB中點，BO=3r，
∴OC=

3

2

r，
∵∠1=60°，
∴∠OCF=30°，
∴FO=

3

4

r，
∴CF²=CO²-OF²=

27

16

r²，
∵AO=3r，F(xiàn)O=

3

4

r，
∴AF=

9

4

，
在Rt△AFC中，利用勾股定理得：
AC²=AF²+FC²=

27

16

r²+

81

16

r²=

27

4

r²，
則AC=

3 3

2

r．
故答案為：

3 3

2

r

點評：考查了平面展開-最短路徑問題，圓錐的側面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．