Question

如圖所示的直角坐標(biāo)系中，若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=8，D為斜邊BC的中點(diǎn)．點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB作勻速運(yùn)動(dòng)，P′是P關(guān)于AD的對稱點(diǎn)；點(diǎn)Q由點(diǎn)D出發(fā)沿射線DC方向作勻速運(yùn)動(dòng)，且滿足四邊形QDPP′是平行四邊形．設(shè)平行四邊形QDPP′的面積為y，DQ=x．
（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）求當(dāng)y取最大值時(shí)，過點(diǎn)P，A，P′的二次函數(shù)解析式；
（3）能否在（2）中所求的二次函數(shù)圖象上找一點(diǎn)E使△EPP′的面積為20？若存在，求出E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，AB=AC=8
∴BC=16
∵D為斜邊BC的中點(diǎn)
∴AD=BD=DC=8
∵四邊形PDQP′為平行四邊形，DQ=x
∴AF=PF=FP′=x
故DF=AD-AF=8-x
則平行四邊形PDQP′的面積y=DQDF=x（8-x）=-x²+8x． 5分

（2）當(dāng)x=8時(shí)，y取最大值，此時(shí)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)，
則點(diǎn)A、P、P′的坐標(biāo)分別為（0，8）、（-4，4）、（4，4）．
設(shè)過上述三點(diǎn)的二次函數(shù)解析式為y=ax²+8，
代入P點(diǎn)坐標(biāo)有y=-x²+8 9分

（3）假設(shè)在y=-x²+8的圖象上存在一點(diǎn)E，使S_△PP′E=20
設(shè)E的坐標(biāo)為（x，y），則S_△PP′E=|PP′||y-4|=20．
即|y-4|=5，可得y=9，-1，
代入解析式可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，-1），（6，-1）．13分
分析：（1）根據(jù)題意易得，四邊形PDQP′為平行四邊形，設(shè)DQ=x；故有AF=PF=FP′=x，故DF=AD-AF=8-x；進(jìn)而可得y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）由（1）可得，其解析式為二次函數(shù)，分析可得當(dāng)x=8時(shí)，y取最大值，此時(shí)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)，進(jìn)而可得過點(diǎn)P，A，P′的二次函數(shù)解析式；（3）首先假設(shè)存在，并設(shè)其坐標(biāo)為（x，y），表示出△PP′E的面積，可得x與y的值，判斷出存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合處理問題、解決問題的能力．