Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)（x＞0，m是常數(shù)）的圖象經(jīng)過A（1，4），B（a，b），其中a＞1．過點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為C，過點(diǎn)B作y軸垂線，垂足為D，連接AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面積為4，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若DC∥AB，當(dāng)AD=BC時(shí)，求直線AB的函數(shù)解析式．

Answer 1

（1）解：∵函數(shù)，m是常數(shù)）圖象經(jīng)過A（1，4），
∴m=4．
設(shè)BD，AC交于點(diǎn)E，據(jù)題意，可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，E點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵a＞1，

∴DB=a，．
由△ABD的面積為4，即，
得a=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

（2）解：∵DC∥AB，
∴當(dāng)AD=BC時(shí)，有兩種情況：
①當(dāng)AD∥BC時(shí)，四邊形ADCB是平行四邊形，
由AE=CE，BE=DE，得，，
∴a-1=1，得a=2．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2）．
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，
得，
解得，
∴直線AB的函數(shù)解析式是y=-2x+6．
②當(dāng)AD與BC所在直線不平行時(shí)，四邊形ADCB是等腰梯形，
則BD=AC，
∴a=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，1）．
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=cx+d，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，
得，
解得，
∴直線AB的函數(shù)解析式是y=-x+5．綜上所述，所求直線AB的函數(shù)解析式是y=-2x+6或y=-x+5．
分析：（1）將A（1，4）代入y=，求出反比例函數(shù)解析式，利用三角形ABC的面積為4求出a的值，進(jìn)而求出a的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)DC∥AB，當(dāng)AD=BC時(shí)，分兩種情況討論，①當(dāng)AD∥BC時(shí)，四邊形ADCB是平行四邊形；②當(dāng)AD與BC所在直線不平行時(shí)，四邊形ADCB是等腰梯形；再分別利用待定系數(shù)法求解．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道反比例函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、等腰梯形的性質(zhì)等內(nèi)容，要仔細(xì)研究，且注意分類討論．