Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，直角頂點C在y軸的負(fù)半軸上，cos∠ABC=

4

5

，點P在線段OC上，且PO、OC的長是方程x²-15x+36=0的兩根．
（1）求P點坐標(biāo)；
（2）求AP的長；
（3）在x軸上是否存在點Q，使以A、Q、C、P為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出直線PQ的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過解方程x²-15x+36=0，得OP、OC的長度，即可推出P點的坐標(biāo)，（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，推出Cos∠ABC=

4

5

=Cos∠ACO=

OC

AC

，結(jié)合已知條件即可推出AP的長度，
（3）首先設(shè)出Q點的坐標(biāo)，分情況討論，①AP∥CQ，然后根據(jù)

OA

OQ

=

OP

OC

，即可求出OQ的長度，即可得Q點的坐標(biāo)，然后根據(jù)P和Q點的坐標(biāo)即可推出直線PQ的解析式，②PQ∥AC，分別求出即可．

解答：解：（1）∵PO、OC的長是方程x²-15x+36=0的兩根，OC＞PO，
∴PO=3，OC=12（2分）
∴P（0，-3）（2分）

（2）在Rt△OBC與Rt△AOC中，cos∠ABC=

4

5

=cos∠ACO，
∴

CO

AC

=

4

5

（1分）
設(shè)CO=4K，AC=5K，∴CO=4K=12，K=3
∴AO=3K=9，∴A（-9，0）（2分）
∴AP=

81+9

=3

10

（1分）

（3）設(shè)在x軸上存在點Q（x，0）使四邊形AQCP是梯形，
①AP∥CQ，∴

OA

OQ

=

OP

OC

，
∵OA=9，OP=3，OC=12，
∴OQ=36，則Q（-36，0），
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，將點P（0，-3），Q（-36，0）代入，得

-3=b 0=-36k+b

，
解得：

b=-3 k=- 1 12

，
②同理當(dāng)PQ∥AC，可得PQ的解析式為：y=-

4

3

x+3；
∴所求直線PQ的解析式為y=-

1

12

x-3或y=-

4

3

x+3．

點評：本題主要考查解整式方程、解直角三角形、勾股定理、平行線的相關(guān)性質(zhì)、求一次函數(shù)解析式，關(guān)鍵在于確定P點的坐標(biāo)；根據(jù)解直角三角形求得AP的長度；根據(jù)平行線的性質(zhì)，確定OQ的長度，確定Q點的坐標(biāo)．