Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（0，1）在y軸上，點(diǎn)B（3，0）在x軸上，M（x，0）是線段OB上一動點(diǎn)，N是x軸上方一動點(diǎn)，且滿足：ON=OA，MN=MB．

（1）求直線AB的解析式；
（2）若△OMN為直角三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）在（2）的情況下，當(dāng)時，判斷點(diǎn)N與直線AB的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可；
（2）由△OMN為直角三角形，OM、ON、MN都可能為斜邊，需要分三種情況討論，去掉沒解的情況，即得答案；
（3）由（2）得，當(dāng)時，△OMN是以MO為斜邊的直角三角形，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)將其代入直線AB的解析式，恰好能使等式成立，即可判定點(diǎn)N在直線AB上．
解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b
∵A（0，1），B（3，0）
∴解得：（2分）
∴直線AB的解析式為（3分）

（2）由題意可得，ON=OA=1，MN=MB=3-x（4分）
∵△OMN為直角三角形
①若ON為斜邊，則1=x²+（3-x）²，即x²-3x+4=0，無解（5分）
②若MO為斜邊，則x²=（3-x）²+1，解得（6分）
③若MN為斜邊，則（3-x）²=1+x²，解得（7分）
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為或（9分）

（3）當(dāng)時，由（2）知此時△OMN是以MO為斜邊的直角三角形（10分）
且MO=，MN=MB=
過N作NE⊥OB于E，
∴
∴
∴，
即N（12分）
當(dāng)x=時，，
∴點(diǎn)N在直線上
即當(dāng)時，N在直線AB上．（14分）
點(diǎn)評：本題是函數(shù)與三角形相結(jié)合的問題，在圖形中滲透運(yùn)動的觀點(diǎn)是中考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題．