Question

【題目】圖1、圖2為同一長方體房間的示意圖，圖3為該長方體的表面展開圖．
（1）蜘蛛在頂點(diǎn)A′處． ①蒼蠅在頂點(diǎn)B處時，試在圖1中畫出蜘蛛為捉住蒼蠅，沿墻面爬行的最近路線．
②蒼蠅在頂點(diǎn)C處時，圖2中畫出了蜘蛛捉住蒼蠅的兩條路線，往天花板ABCD爬行的最近路線A′GC和往墻面BB′C′C爬行的最近路線A′HC，試通過計算判斷哪條路線更近．
（2）在圖3中，半徑為10dm的⊙M與D′C′相切，圓心M到邊CC′的距離為15dm，蜘蛛P在線段AB上，蒼蠅Q在⊙M的圓周上，線段PQ為蜘蛛爬行路線，若PQ與⊙M相切，試求PQ長度的范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：①根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知：

線段A′B為最近路線，如圖1所示．

②（i）．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形ABCD在同一平面內(nèi)，如圖2①．

在Rt△A′B′C中，

∠B′=90°，A′B′=40，B′C=60，

∴AC= = =20 ．

(ii)．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形BCC′B′在同一平面內(nèi)，如圖2②．

在Rt△A′C′C中，

∠C′=90°，A′C′=70，C′C=30，

∴A′C= = =10 ．

∵ ＜ ，

∴往天花板ABCD爬行的最近路線A′GC更近

（2）解：過點(diǎn)M作MH⊥AB于H，連接MQ、MP、MA、MB，如圖3．

∵半徑為10dm的⊙M與D′C′相切，圓心M到邊CC′的距離為15dm，BC′=60dm，

∴MH=60﹣10=50，HB=15，AH=40﹣15=25，

根據(jù)勾股定理可得AM= = = ，

MB= = = ，

∴50≤MP≤ ．

∵⊙M與PQ相切于點(diǎn)Q，

∴MQ⊥PQ，∠MQP=90°，

∴PQ= = ．

當(dāng)MP=50時，PQ= =20 ；

當(dāng)MP= 時，PQ= =55．

∴PQ長度的范圍是20 dm≤PQ≤55dm

【解析】（1）①根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知：線段A′B為最近路線； ②(i)．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形ABCD在同一平面內(nèi)，如圖2①，運(yùn)用勾股定理求出AC長；(ii)．將長方體展開，使得長方形ABB′A′和長方形BCC′B′在同一平面內(nèi)，如圖2②，運(yùn)用勾股定理求出A′C長，然后將兩個長度進(jìn)行比較，就可解決問題；（2）過點(diǎn)M作MH⊥AB于H，連接MQ、MP、MA、MB，如圖3．由⊙M與PQ相切于點(diǎn)Q可得MQ⊥PQ，即∠MQP=90°，根據(jù)勾股定理可得PQ= = ．要求PQ的取值范圍，只需先求出MP的取值范圍，就可解決問題．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的幾何體的展開圖和線段的基本性質(zhì)，需要了解沿多面體的棱將多面體剪開成平面圖形，若干個平面圖形也可以圍成一個多面體；同一個多面體沿不同的棱剪開，得到的平面展開圖是不一樣的，就是說：同一個立體圖形可以有多種不同的展開圖；線段公理：所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短．也可簡單說成：兩點(diǎn)之間線段最短；連接兩點(diǎn)的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離；線段的大小關(guān)系和它們的長度的大小關(guān)系是一致的才能得出正確答案．