Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形AOCB是梯形，AB∥OC，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，且(OA-8)2+

10-OC

=0，OB=OC．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，沿線段CO以5個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PH⊥OB，垂足為H，設(shè)△HBP的面積為S（S≠0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（直接寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)P作PM∥CB交線段AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MR⊥OC，垂足為R，線段MR分別交直線PH、OB于點(diǎn)E、G，點(diǎn)F為線段PM的中點(diǎn)，連接EF．
①判斷EF與PM的位置關(guān)系；
②當(dāng)t為何值時(shí)，EG=2？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知得出OB=OC=10，BN=OA=8，即可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）利用△BON∽△POH，得出對(duì)應(yīng)線段成比例，即可得出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）①利用∠RPM+∠RMP=90°，∠HPD+∠HDP=90°，得出∠EMP=∠HPM，三角形三線合一得出；
②利用△MGB∽△N′BO，分別進(jìn)行討論得出當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)E上方時(shí)，以及當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)E下方時(shí)得出t的值即可．

解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BN⊥OC，垂足為N
∵(OA-8)2+

10-OC

=0，OB=OC，
∴OA=8，OC=10（1分）
∴OB=OC=10，BN=OA=8，
∴ON=

OB2-BN2

=6．
∴B（6，8）（2分）

（2）如圖1，∵∠BON=∠POH，∠ONB=∠OHP=90°．
∴△BON∽△POH，
∴

BO

PO

=

ON

OH

=

BN

PH

∵PC=5t．∴OP=10-5t．
∵BO=10，PO=10-5t，ON=6，
∴

10

10-5t

=

6

OH

，
∴OH=6-3t，
同理可得，PH=8-4t．
∴BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4，
∴S=

1

2

（3t+4）（8-4t）=-6t²+4t+16（3分），
∴t的取值范圍是：0≤t＜2（4分）

（3）①EF⊥PM（5分）
∵M(jìn)R⊥OC，PH⊥OB，
∴∠RPM+∠RMP=90°，∠HPD+∠HDP=90°
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC．
∵BC∥PM，
∴∠RPM=∠HDP，
∴∠RMP=∠HPD，即：∠EMP=∠HPM，
∴EM=EP
∵點(diǎn)F為PM的中點(diǎn)，
∴EF⊥PM（6分）；
②如圖2，過點(diǎn)B作BN′⊥OC，垂足為N′，BN′=8，CN′=4
∵BC∥PM，MR⊥OC，
∴△MRP≌△BN′C，
∴PR=CN′=4
設(shè)EM=x，則EP=x，在△PER中，∠ERP=90°，RE=MR-ME=8-x
有x²-（8-x）²=4²，
∴x=5，
∴ME=5
∵△MGB∽△N′BO，
∴

MG

N′B

=

MB

N′O

∵PM∥CB，AB∥OC，
∴四邊形BMPC是平行四邊形．
∴BM=PC=5t．
第一種情況：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)E上方時(shí)（如圖2）
∵EG=2，
∴MG=EM-EG=5-2=3，
∴

3

8

=

5t

6

，
∴t=

9

20

（7分）；

第二種情況：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)E下方時(shí)（如圖3）MG=ME+EG=5+2=7，
∴

7

8

=

5t

6

，
∴t=

21

20

（8分）
∴當(dāng)t=

9

20

或

21

20

時(shí)，EG=2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定理的應(yīng)用和直角梯形的性質(zhì)等知識(shí)，利用△MGB∽△N′BO，分別進(jìn)行討論是難點(diǎn)問題，也容易漏解，應(yīng)引起同學(xué)們的注意．