Question

如圖所示，E是正方形ABCD中AD邊上的中點，BD與CE交于點F．請你根據(jù)圖形判斷AF與BE的位置具有什么關(guān)系？并給予證明．

Answer 1

AF⊥BE．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，E是AD邊上的中點，
∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，
在△BAE和△CDE中
∵，
∴△BAE≌△CDE（SAS），
∴∠ABE=∠DCE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
∵在△ADF和△CDF中，
，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠FAD=∠FCD，
∵∠ABE=∠DCE
∴∠ABE=∠FAD，
∵∠BAD=∠BAF+∠DAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AGB=180°-90°=90°，
∴AF⊥BE．
分析：首先根據(jù)正方形的性質(zhì)證得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，再證△ADF≌△CDF，求得∠FAD=∠FCD，推出∠ABE=∠FAD；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE中根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°求得∠AGE=90°即可．
點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)．解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)：①四邊相等，兩兩垂直； ②四個內(nèi)角相等，都是90度； ③對角線相等，相互垂直，且平分一組對角．