Question

23、如圖所示，E是正方形ABCD中AD邊上的中點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)F．請(qǐng)你根據(jù)圖形判斷AF與BE的位置具有什么關(guān)系？并給予證明．

Answer 1

分析：首先根據(jù)正方形的性質(zhì)證得∠ABE=∠FCD；然后再通過△ADF≌△CDF（SAS）求得∠FAD=∠FCD，所以∠ABE=∠FAD；最后在△ABE中求得∠ABE+∠AEB=90°；最后在△AGE中根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°求得∠AGE=90°，即AF⊥BE．

解答：AF⊥BE．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，E是AD邊上的中點(diǎn)，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABE=∠FCD；
在△ADF和△CDF中，
AD=CD（正方形的邊長都相等），
DF=FD（公共邊），
∠ADF=∠CDF（正方形的對(duì)角線平分對(duì)角），
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠FAD=∠FCD（對(duì)應(yīng)角相等）；
∴∠ABE=∠FAD；
又∵在△ABE中，∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠AEB=90°，
∴在△AGE中，∠AGE=90°（三角形的內(nèi)角和是180°），
∴AF⊥BE．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)．解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)：①四邊相等，兩兩垂直； ②四個(gè)內(nèi)角相等，都是90度； ③對(duì)角線相等，相互垂直，且平分一組對(duì)角．