Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上，tan∠ABC=，點P在線段OC上，且PO、PC的長（PO＜PC）是方程x²-12x+27=0的兩根．
（1）求P點坐標；
（2）求AP的長；
（3）在x軸上是否存在點Q，使以點A、C、P、Q為頂點的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出直線PQ的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)PO、PC的長（PO＜PC）是方程x²-12x+27=0的兩根．解方程x²-12x+27=0，得x₁=3，x₂=9，得PO=3．即P（0，-3）；
（2）由（1）可知，PO=3，PC=9，OC=12，∠ABC=∠ACO，所以tan∠ACO=，可求得A（-9，0），所以AP=；
（3）先根據(jù)梯形的性質(zhì)求出對應的點Q的坐標，再利用待定系數(shù)解出直線PQ解析式為：y=-x-3或y=-x-3．
解答：解：（1）解方程x²-12x+27=0，得x₁=3，x₂=9，
∵PO＜PC，
∴PO=3，
∴P（0，-3）；

（2）∵PO=3，PC=9，
∴OC=12，
∵∠ABC=∠ACO，
∴tan∠ACO=，
∴OA=9，
∴A（-9，0），
∴AP=；

（3）存在，
①當CQ∥PA時，直線PA的解析式為：y=-x-3，
∴直線CQ的解析式為：y=-x-12，
∴Q（-36，0），
∴直線PQ解析式為：y=-x-3，
②當PQ′∥AC時，直線AC的解析式為：y=-x-12，
∴直線PQ′的解析式為：y=-x-3，
綜上所述：直線PQ解析式為：y=-x-3或y=-x-3，
說明：如果學生有不同于本參考答案的解題方法，只要正確，可參照本評分標準，酌情給分．
點評：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質(zhì)求解．