Question

CD經(jīng)過∠BCA頂點C的一條直線，CA=CB．E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點，且∠BEC=∠CFA=α．
（1）若直線CD經(jīng)過∠BCA的內(nèi)部，且E，F(xiàn)在射線CD上，
①如圖（1），若∠BCA=90°，∠α=90°，則BE

 

CF；
②如圖（2），若∠α+∠BCA=180°，那么①中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由．
（2）如圖（3），若直線CD經(jīng)過∠BCA的外部，且∠α=∠BCA，若BE=3，AF=5，試求出EF的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）①根據(jù)條件可以得出△BEC≌△CFA，就可以得出結(jié)論BE=CF；
②由條件可以得出∠CBE=∠ACF，可以得出△BEC≌△CFA，從而得出結(jié)論；
（2）如圖3，由條件可以得出△BEC≌△CFA，就有BE=CF=3，CE=AF=5，就可以求出結(jié)論EF的值．

解答：解：（1）①∵∠BCA=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°．
∵∠BEC=∠CFA=∠α=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠CBE=∠ACF．
在△BEC和△CFA中

∠BEC=∠CFA ∠CBE=∠ACF CB=AC

，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，
故答案為：BE=CF；
②BE=CF
理由：∵∠α+∠BCA=180°，
∴∠BEC+∠BCE+∠ACF=180．
∵∠BCE+∠CBE+∠BEC=180°，
∴∠ACF=∠CBE．
在△BEC和△CFA中

∠BEC=∠CFA ∠CBE=∠ACF CB=AC

，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，
（2）∵∠BCE+∠CBE+∠BEC=180°，∠BEC=∠AFC=∠ACB=∠a，
∴∠BCE+∠CBE+∠ACB=180°．
∵∠BCE+∠ACB+∠ACF=180°，
∴∠CBE=∠ACF．
在△BEC和△CFA中

∠BEC=∠CFA ∠CBE=∠ACF CB=AC

，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，CE=AF．
∴CE+CF=BE+AF=3+5=8，
∴EF=8．
答：EF的值為8．

點評：本題考查了垂直的性質(zhì)的運用，三角形內(nèi)角和定理的運用，三角形全等的判定及性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．