Question

已知：如下圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD²+CD²=2AB²。
（1）求證：AB=BC；
（2）當BE⊥AD于E時，試證明：BE=AE+CD。

Answer 1

證明：（1）連接AC，
∵∠ABC=90°，
∴AB²+BC²=AC2，
∵CD⊥AD，
∴AD²+CD²=AC²，
∵AD²+CD²=2AB²，
∴AB²+BC²=2AB²，
∴BC²=AB²，
∴AB=BC；
（2）過C作CF⊥BE于F，
∵BE⊥AD，CF⊥BE，CD⊥AD，
∴∠FED=∠CFE=∠D=90°，
∴四邊形CDEF是矩形，
∴CD=EF，
∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴在△BAE與△CBF中
∴，
∴△BAE≌△CBF。（AAS）
∴AE=BF，
∴BE=BF+EF=AE+CD。