Question

已知，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE=AC，連AG．
（1）求證：FC=BE；
（2）若AD=DC=2，求AG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC，AE=AC，根據(jù)AAS易證得△ABC≌△AFE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可得AB=AF，繼而可得FC=BE；
（2）利用等腰三角形的三線合一定理可得AF=

1

2

AC=

1

2

AE，進(jìn)而求得一些角是30°，主要利用AD長(zhǎng)，直角三角形勾股定理來(lái)求解即可求得答案．

解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，
∴∠ABC=∠AFE．
∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，
∴△ABC≌△AFE，
∴AB=AF．
∴AE-AB=AC-AF，
即FC=BE；

（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，
∴AF=

1

2

AC=

1

2

AE．
∴AG=CG，∠E=30°．
∵∠EAD=90°，
∴∠ADE=60°，
∴∠FAD=∠E=30°，
∴FC=

3

，
∵AD∥BC，
∴∠ACG=∠FAD=30°，
∴CG=2，
∴AG=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直角梯形、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定．此題知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)．突破此題的關(guān)鍵在于第一問(wèn)證得△ABC≌△AFE，第二問(wèn)利用等腰△ADC的性質(zhì)得AF=

1

2

AC=

1

2

AE．從而得出∠E=30°，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．