Question

（2012•河口區(qū)二模）已知：拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（-3，0）、C（0，-2）．
（1）求這條拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）已知在對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最小．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸得到關(guān)于a、b的一個(gè)方程，再把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式，然后解方程組求出a、b、c的值，即可得解；
（2）根據(jù)利用軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)的問(wèn)題，連接AC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所求的使得△PBC的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線(xiàn)AC的解析式，再把x=-1代入直線(xiàn)解析式求出y的值，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）、C（0，-2），
∴

- b 2a =-1 9a-3b+c=0 c=-2

，
解得

a= 2 3 b= 4 3 c=-2

，
∴拋物線(xiàn)解析式為y=

2

3

x²+

4

3

x-2；

（2）如圖，連接AC，交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所求的使得△PBC的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+m（k≠0），
∵A（-3，0）、C（0，-2），
∴

-3k+m=0 m=-2

，
解得

k=- 2 3 m=-2

，
∴直線(xiàn)AC的解析式為y=-

2

3

x-2，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=-

2

3

×（-1）-2=-

4

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)解析式），利用軸對(duì)稱(chēng)確定最短路線(xiàn)問(wèn)題，（2）確定出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．