Question

  如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊三角形AOB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)B在第一象限．一動(dòng)點(diǎn)P沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．將線段BP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得點(diǎn)C，點(diǎn)C隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接CP、CA，過點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D．

（1）填空：PD的長(zhǎng)為               （用含t的代數(shù)式表示）；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
（3）在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，△PCA能否成為直角三角形？若能，求t的值．若不能，請(qǐng)說明理由；
（4）填空：在點(diǎn)P從O向A運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為                            

Answer 1

（1）∵△AOB是等邊三角形，

∴OB=OA=AB=4，∠BOA=∠OAB=∠ABO=60°．
∵PD⊥OB，∴∠PDO=90°，∴∠OPD=30°，∴OD=OP．∵OP=t，∴OD=t，在Rt△OPD中，由勾股定理，得PD= 
（2）如圖（1）過C作CE⊥OA于E，∴∠PEC=90°，
∵OD=t，∴BD=4-t．
∵線段BP的中點(diǎn)繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得點(diǎn)C，
∴∠BPC=60°．∵∠OPD=30°，
∴∠BPD+∠CPE=90°．∴∠DBP=∠CPE
∴△PCE∽△BPD
∴，
∴，，
∴CE=，PE=，OE=，∴C（，）．
（3）如圖（3）當(dāng)∠PCA=90度時(shí)，作CF⊥PA，∴△PCF∽△ACF，∴，∴CF2=PF•AF，
∵PF=，AF=4-OF=2- CF=，
∴（）2=（）（2-），
求得t=2，這時(shí)P是OA的中點(diǎn)．
如圖（2）當(dāng)∠CAP=90°時(shí)，C的橫坐標(biāo)就是4，
∴2+=4∴t=
（4）設(shè)C（x，y），
∴x=2+，y=，∴y=x-，
∴C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)痕跡是一條線段．當(dāng)t=0時(shí)，C1（2，0），當(dāng)t=4時(shí)，C2（5，），∴由兩點(diǎn)間的距離公式得：C₁C₂=2．

此題考核相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)