Question

三條筆直的公路將A、B、C三個村子兩兩連接，其中公路AB與公路AC的長相同．又一個自來水廠D到三個村子的距離相同，都是5公里，到公路BC的距離是3公里，一個從A村出發(fā)沿公路走一圈（既沿A-B-C-A的路線走），你知道他走的路程是多少嗎？

Answer 1

解：①當D在△ABC內部，
∵D到A、B、C三點的距離相等，
∴D是AB、BC、AC三邊的中垂線的交點，
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，且D在AE上，
∴DA=DB=DC=5，DE=3，
在Rt△BDE中，BE==4，
∴BC=8，
在Rt△ABE中，AB==4，
∴AB+BC+CA=4×2+8=8+8；
②當D在△ABC外部，
∵D到A、B、C三點的距離相等，
∴D是AB、BC、AC三邊的中垂線的交點，
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，且D在AE延長線上，
∴DA=DB=DC=5，DE=3，
在Rt△BDE中，BE==4，
∴BC=8，
在Rt△ABE中，AB==2，
∴AB+BC+AC=2×2+8=4+8．
分析：①當D在△ABC內部，由于D到A、B、C三點的距離相等，那么D是AB、BC、AC三邊的中垂線的交點，而AB=AC，可知AE⊥BC，且D在AE上，根據題意可知DA=DB=DC=5，DE=3，在Rt△BDE中利用勾股定理易求BE，進而可求BC，在Rt△ABE中利用勾股定理可求AB，從而易求AB+BC+AC的值；
②當D在△ABC外部，易知AE⊥BC，且D在AE延長線上，和①同理可求BE、AB的值，進而可求AB+BC+AC的值．
點評：本題考查了線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是注意分情況討論，并很好地利用勾股定理．