Question

三條筆直的公路將A、B、C三個(gè)村子兩兩連接，其中公路AB與公路AC的長(zhǎng)相同．又一個(gè)自來(lái)水廠D到三個(gè)村子的距離相同，都是5公里，到公路BC的距離是3公里，一個(gè)從A村出發(fā)沿公路走一圈（既沿A-B-C-A的路線走），你知道他走的路程是多少嗎？

Answer 1

分析：①當(dāng)D在△ABC內(nèi)部，由于D到A、B、C三點(diǎn)的距離相等，那么D是AB、BC、AC三邊的中垂線的交點(diǎn)，而AB=AC，可知AE⊥BC，且D在AE上，根據(jù)題意可知DA=DB=DC=5，DE=3，在Rt△BDE中利用勾股定理易求BE，進(jìn)而可求BC，在Rt△ABE中利用勾股定理可求AB，從而易求AB+BC+AC的值；
②當(dāng)D在△ABC外部，易知AE⊥BC，且D在AE延長(zhǎng)線上，和①同理可求BE、AB的值，進(jìn)而可求AB+BC+AC的值．

解答：解：①當(dāng)D在△ABC內(nèi)部，
∵D到A、B、C三點(diǎn)的距離相等，
∴D是AB、BC、AC三邊的中垂線的交點(diǎn)，
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，且D在AE上，
∴DA=DB=DC=5，DE=3，
在Rt△BDE中，BE=

52-32

=4，
∴BC=8，
在Rt△ABE中，AB=

42+82

=4

5

，
∴AB+BC+CA=4

5

×2+8=8+8

5

；
②當(dāng)D在△ABC外部，
∵D到A、B、C三點(diǎn)的距離相等，
∴D是AB、BC、AC三邊的中垂線的交點(diǎn)，
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，且D在AE延長(zhǎng)線上，
∴DA=DB=DC=5，DE=3，
在Rt△BDE中，BE=

52-32

=4，
∴BC=8，
在Rt△ABE中，AB=

42+22

=2

5

，
∴AB+BC+AC=2×2

5

+8=4

5

+8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是注意分情況討論，并很好地利用勾股定理．