如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝10．一把三角尺的直角頂點(diǎn)P在AD上滑動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與A、D不重合），一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)C，另一直角邊與AB交于點(diǎn)E．

（1）證明△DPC∽△AEP；
（2）當(dāng)∠CPD＝30°時(shí)，求AE的長(zhǎng)；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△DPC的周長(zhǎng)等于△AEP周長(zhǎng)的倍？若存在，求出DP的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

(1)詳見解析；（2）AE=；(3)DP=8.

解析試題分析：(1)兩個(gè)三角形都是直角三角形，所以有一角相等，再根據(jù)圖中的條件，再求出一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，就可以得到△DPC∽△AEP；（2）在△CDP中，根據(jù)直角三角形中，30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可知PC=8,再根據(jù)勾股定理得PD=,然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求出AE的值；（3）因?yàn)橄嗨迫切蔚闹荛L(zhǎng)比等于相似比，所以只要△DPC的邊CD等于△PAE的邊AP的2倍，那么△DPC的周長(zhǎng)等于△AEP周長(zhǎng)的倍.
試題解析：（1）在△DPC、△AEP中，∠1與∠2互余，∠2與∠3互余，∴∠1＝∠3 
又∠A＝∠D＝90°，∴△DPC∽△AEP
（2）∵∠2＝30°，CD＝4，∴PC＝8，PD＝
由(1)得：,所以,所以AE=.
（3）存在這樣的點(diǎn)P，使△DPC的周長(zhǎng)等于△AEP周長(zhǎng)的2倍，
∵相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，設(shè)，解得DP＝8

考點(diǎn)：1、相似三角形的判定；2、相似三角形的性質(zhì).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.證明：△ADE∽△EFC．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是線段AD邊上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、D），連結(jié)PC，過點(diǎn)P作PE⊥PC交AB于E．

（1）證明△PAE∽△CDP；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)E也隨之在AB上運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP＝x，BE＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及y的取值范圍；
（3）在線段AD上是否存在不同于P的點(diǎn)Q，使得QC⊥QE？若存在，求線段AP與AQ之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖：四邊形ABCD和四邊形AEFC都是矩形，點(diǎn)B在EF邊上.

（1）請(qǐng)你找出圖中一對(duì)相似三角形（相似比不等于1），并加以證明；
（2）若四邊形ABCD的面積為20，求四邊形AEFC的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在正方形網(wǎng)格上有△ABC和△DEF．

（1）求證:△ABC∽△DEF；
（2）計(jì)算這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比；
（3）根據(jù)上面的計(jì)算結(jié)果，你有何猜想？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EC與AD交于點(diǎn)G，點(diǎn)F在BC上．

（1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD．
（2）如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，△MBC是等邊三角形．

（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動(dòng)，且∠MPQ=60°保持不變．設(shè)PC=x，MQ=y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）中：
①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以點(diǎn)P、M和點(diǎn)A、B、C、D中的兩個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并指出符合條件的平行四邊形的個(gè)數(shù)；
②當(dāng)y取最小值時(shí)，判斷△PQC的形狀，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD>AB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連結(jié)AF和CE。

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面積為24cm2，求△ABF的周長(zhǎng)；
（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2=AC·AP？若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由。

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=9，點(diǎn)O是斜邊AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心2為半徑的圓分別與AC、BC相切于點(diǎn)D、E。

（1）求AC、BC的長(zhǎng)；
（2）若AC=3，連接BD，求圖中陰影部分的面積（取3.14）。

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