Question

（2000•內(nèi)江）如圖，在直角坐標系xoy中，以原點為圓心的⊙O的半徑是，過A（0，4）作⊙O的切線交x軸于點B，T是切點，拋物線y=ax²+bx+c的頂點為C（3，-），且拋物線過A、B兩點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如果此拋物線的對稱軸交x軸于D點，問在y軸的負半軸上是否存在點P，使△BCD∽△OPB？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據(jù)C點的坐標，用頂點式二次函數(shù)通式來設拋物線的解析式，然后將A點坐標代入求解即可．
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出B點的坐標，然后可分兩種情況討論：
①當△BCD∽△BPO，那么；②當△BCD∽△PBO，則有；
根據(jù)上述兩種情況中不同的對應成比例線段可求出不同的符合條件的P點坐標．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-3）²-，
已知拋物線過A點，則有：
a（0-3）²-=4，
解得a=
此拋物線的解析式為：y=（x-3）²-

（2）∵B（2，0）；C（3，-）；D（3，0）
∴BD=1，CD=，OB=2
∵要使△BCD∽△OPB
∴只需或
即：或
解得：OP=或4
∴P（0，-）或（0，-4）．
故：在y軸的負半軸上是否存在點P（0，-）或（0，-4），使△BCD∽△OPB．
點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質等知識點．（2）題要根據(jù)相似三角形的對應線段的不同分類進行求解，不要漏解．