Question

如圖，在等邊△ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn)，BD，CD的延長(zhǎng)線分別交于AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若

1

CE

+

1

BF

=6，則△ABC的邊長(zhǎng)為（　　）

• A、

  1

  8

• B、

  1

  4

• C、

  1

  2

• D、1

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)A作直線PQ∥BC，延長(zhǎng)BE交PQ于點(diǎn)P；延長(zhǎng)CF，交PQ于點(diǎn)Q．證明△BCE∽△PAE，△CBF∽△QAF，
構(gòu)造

1

CE

+

1

BF

與BC的關(guān)系求解．

解答：解：過(guò)點(diǎn)A作直線PQ∥BC，延長(zhǎng)BD交PQ于點(diǎn)P；延長(zhǎng)CD，交PQ于點(diǎn)Q．
∵PQ∥BC，
∴△PQD∽△BCD，
∵點(diǎn)D在△ABC的中位線上，
∴△PQD與△BCD的高相等，
∴△PQD≌△BCD，
∴PQ=BC，
∵AE=AC-CE，AF=AB-BF，
在△BCE與△PAE中，∠PAE=∠ACB，∠APE=∠CBE，
∴△BCE∽△PAE，

AE

CE

=

AP

BC

…①
同理：△CBF∽△QAF，

AF

BF

=

AQ

BC

…②
①+②，得：

AC-CE

CE

+

AB-BF

BF

=

AP+AQ

BC

．
∴

AC

CE

+

AB

BF

=3，
又∵

1

CE

+

1

BF

=6，AC=AB，
∴△ABC的邊長(zhǎng)=

1

2

．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角形中位線定理及三角形的相似的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造相似，從而得到已知與所求線段的關(guān)系．