Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3cm的速度沿折線ABCD方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段DC方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q同時(shí)發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，P、Q運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．
（1）求CD的長；
（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，求四邊形PBQD的周長；
（3）在點(diǎn)P、點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得△BPQ的面積為20cm²？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)A作AM⊥CD于M，根據(jù)勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16．
（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖示，由題可得：BP=10-3t，DQ=2t，所以可以列出方程10-3t=2t，解得t=2，此時(shí)，BP=DQ=4，CQ=12，在△CBQ中，根據(jù)勾股定理，求出BQ即可．
（3）此題要分三種情況進(jìn)行討論：即①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，③當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上，根據(jù)三種情況點(diǎn)的位置，可以確定t的值．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AM⊥CD于M，
根據(jù)勾股定理，AD=10，AM=BC=8，
∴DM=

102-82

=6，
∴CD=16；

（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，
點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖，
由題知：BP=10-3t，DQ=2t
∴10-3t=2t，解得t=2
此時(shí)，BP=DQ=4，CQ=12
∴BQ=

82+122

=4

13

∴四邊形PBQD的周長=2（BP+BQ）=8+8

13

；


（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，即0≤t≤

10

3

時(shí)，如圖
S△BPQ=

1

2

BP•BC=

1

2

(10-3t)×8=20
∴t=

5

3

．

②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，即

10

3

＜t≤6時(shí)，如圖
BP=3t-10，CQ=16-2t
∴S△BPQ=

1

2

BP•CQ=

1

2

(3t-10)×(16-2t)=20
化簡得：3t²-34t+100=0，△=-44＜0，所以方程無實(shí)數(shù)解．

③當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，
若點(diǎn)P在Q的右側(cè)，即6≤t≤

34

5

，
則有PQ=34-5t
S△⊆BPQ=

1

2

(34-5t)×8=20，
t=

29

5

＜6，舍去
若點(diǎn)P在Q的左側(cè)，
即

34

5

＜t≤8，
則有PQ=5t-34，S△BPQ=

1

2

(5t-34)×8=20，
t=7.8．
綜合得，滿足條件的t存在，其值分別為t1=

5

3

，t₂=7.8．

點(diǎn)評(píng)：本題是平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題，解決問題時(shí)，一定要變動(dòng)為靜，將其轉(zhuǎn)化為常見的幾何問題，再進(jìn)行解答．