Question

如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠ADC=90°，AB=3a，CD=2a，AD=2，點(diǎn)E、F分別是腰AD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G在AB上，且四邊形AEFG是矩形．設(shè)FG=x，矩形AEFG的面積為y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）在腰BC上求一點(diǎn)F，使梯形ABCD的面積是矩形AEFG的面積的2倍，并求出此時(shí)BF的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，矩形AEFG能否為正方形？若能，求出其邊長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）過C作CH⊥AB于H．可證明四邊形ADCH為矩形．設(shè)FG=x，根據(jù)三角函數(shù)得出AG=3a-x．再根據(jù)矩形AEFG的面積得出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式可；                     
（2）由S_梯形ABCD的面積，令2（-

a

2

x²+3ax）=5a，解得x，再由x的取值范圍，舍去x=5，從而得出BF的長(zhǎng)．
（3）矩形AEFG不能成為正方形．假設(shè)矩形AEFG能成為正方形，則有FG=AG．求出x，又0＜x≤2，則矩形BEFG不能成為正方形．

解答：解：（1）過C作CH⊥AB于H．
在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠ADC=90°，
∴四邊形ADCH為矩形．
∴CH=AD=2，BH=AB-CD=3a-2a=a．
在Rt△BCH中，tanB=

CH

BH

=

2

a

．
∵四邊形AEFG是矩形，∴∠FGA=90°=∠FGB，且FG=x．
∴在Rt△FGB中，tanB=

FG

BG

=

x

BG

．
∴

2

a

=

x

BG

，即BG=

a

2

x，∴AG=3a-0.5ax．
∵S_矩形AEFG=FG×AG，
∴y=x（3a-

a

2

x）=-

a

2

x²+3ax（0＜x≤2）．                     …（4分）

（2）∵S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）×AD=

1

2

（3a+2a）×2=5a，
令2（-

a

2

x²+3ax）=5a，解得x₁=1，x₂=5．
∵0＜x≤2，∴x=5（舍去）．
∴x=1，此時(shí)F為BC中點(diǎn)．
∴BF=

1

2

BC=

1

2

CH2+BH2

=

1

2

4+a2

．                 …（3分）

（3）矩形AEFG不能成為正方形．
假設(shè)矩形AEFG能成為正方形，則有FG=AG．
∴x=3a-

a

2

x．
∵∠ABC=60°，則tanB=

2

a

=

3

，∴a=

2

3

3

．
∴x=

3a

1+ a 2

=3

3

-3＞2．
又∵0＜x≤2，∴矩形BEFG不能成為正方形．          …（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合性的題目，考查了直角梯形、正方形的判定和性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)難度偏大．