Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-2x-8分別與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（0，k）是y軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，3為半徑作⊙P．
（1）若⊙P與x軸有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是

 

．
（2）連接PA，若PA=PB，試判斷⊙P與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)⊙P與直線l相切時(shí)，k的值為

 

．

Answer 1

分析：（1）P點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，且半徑為3，由此可求k的取值范圍；
（2）由勾股定理求PA，根據(jù)PA=PB列方程求k的值，判斷⊙P與x軸的位置關(guān)系；
（3）過P點(diǎn)作PQ⊥AB，垂足為Q，根據(jù)△ABP的面積公式，利用面積法表示PQ，當(dāng)⊙P與直線l相切時(shí)，PQ=3，列方程求k即可．

解答：解：（1）依題意，得k的取值范圍是-3≤k＜0；

（2）由y=-2x-8得A（-4，0），B（0，-8），
由勾股定理，得PA=

16+k2

，
∵PB=8+k，
由PA=PB，得

16+k2

=8+k，
解得k=-3，
∴⊙P與x軸相切；

（3）過P點(diǎn)作PQ⊥AB，垂足為Q，
由PQ×AB=PB×OA，
PQ=

(k+8)×4

42+82

，
當(dāng)⊙P與直線l相切時(shí)，PQ=3，即

(k+8)×4

42+82

=3，
解得k=3

5

-8
當(dāng)p在B下方時(shí)，k=-8-3

5

．
故答案為：-3≤k＜0，3

5

-8或-8-3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是由已知直線求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)，由線段相等，面積法分別列方程求解．