如圖,拋物線y=x2+mx+n與直線y=﹣x+3交于A,B兩點,交x軸與D,C兩點,連接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).

(Ⅰ)求拋物線的解析式和tan∠BAC的值;

(Ⅱ)在(Ⅰ)條件下:

(1)P為y軸右側(cè)拋物線上一動點,連接PA,過點P作PQ⊥PA交y軸于點Q,問:是否存在點P使得以A,P,Q為頂點的三角形與△ACB相似?若存在,請求出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.

(2)設E為線段AC上一點(不含端點),連接DE,一動點M從點D出發(fā),沿線段DE以每秒一個單位速度運動到E點,再沿線段EA以每秒個單位的速度運動到A后停止,當點E的坐標是多少時,點M在整個運動中用時最少?


解:(Ⅰ)把A(0,3),C(3,0)代入y=x2+mx+n,得

解得:

∴拋物線的解析式為y=x2x+3.

聯(lián)立,

解得:

∴點B的坐標為(4,1).

過點B作BH⊥x軸于H,如圖1.

∵C(3,0),B(4,1),

∴BH=1,OC=3,OH=4,CH=4﹣3=1,

∴BH=CH=1.

∵∠BHC=90°,

∴∠BCH=45°,BC=

同理:∠ACO=45°,AC=3

∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°,

∴tan∠BAC===

(Ⅱ)(1)存在點P,使得以A,P,Q為頂點的三角形與△ACB相似.

過點P作PG⊥y軸于G,則∠PGA=90°.

設點P的橫坐標為x,由P在y軸右側(cè)可得x>0,則PG=x.

∵PQ⊥PA,∠ACB=90°,

∴∠APQ=∠ACB=90°.

若點G在點A的下方,

①如圖2①,當∠PAQ=∠CAB時,則△PAQ∽△CAB.

∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠CAB,

∴△PGA∽△BCA,

==

∴AG=3PG=3x.

則P(x,3﹣3x).

把P(x,3﹣3x)代入y=x2x+3,得

x2x+3=3﹣3x,

整理得:x2+x=0

解得:x1=0(舍去),x2=﹣1(舍去).

②如圖2②,當∠PAQ=∠CBA時,則△PAQ∽△CBA.

同理可得:AG=PG=x,則P(x,3﹣x),

把P(x,3﹣x)代入y=x2x+3,得

x2x+3=3﹣x,

整理得:x2x=0

解得:x1=0(舍去),x2=,

∴P();

若點G在點A的上方,

①當∠PAQ=∠CAB時,則△PAQ∽△CAB,

同理可得:點P的坐標為(11,36).

②當∠PAQ=∠CBA時,則△PAQ∽△CBA.

同理可得:點P的坐標為P().

綜上所述:滿足條件的點P的坐標為(11,36)、(,)、(,);

(2)過點E作EN⊥y軸于N,如圖3.

在Rt△ANE中,EN=AE•sin45°=AE,即AE=EN,

∴點M在整個運動中所用的時間為+=DE+EN.

作點D關(guān)于AC的對稱點D′,連接D′E,

則有D′E=DE,D′C=DC,∠D′CA=∠DCA=45°,

∴∠D′CD=90°,DE+EN=D′E+EN.

根據(jù)兩點之間線段最短可得:

當D′、E、N三點共線時,DE+EN=D′E+EN最小.

此時,∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°,

∴四邊形OCD′N是矩形,

∴ND′=OC=3,ON=D′C=DC.

對于y=x2x+3,

當y=0時,有x2x+3=0,

解得:x1=2,x2=3.

∴D(2,0),OD=2,

∴ON=DC=OC﹣OD=3﹣2=1,

∴NE=AN=AO﹣ON=3﹣1=2,

∴點E的坐標為(2,1).


練習冊系列答案
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如圖是某校參加各興趣小組的學生人數(shù)分布扇形統(tǒng)計圖,則參加人數(shù)最多的興趣小組是( 。

 

A.

棋類

B.

書畫

C.

球類

D.

演藝

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如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD為角平分線,DE⊥AB,垂足為E.

(1)寫出圖中一對全等三角形和一對相似比不為1的相似三角形;

(2)選擇(1)中一對加以證明.

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觀察下列各式及其展開式:

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

請你猜想(a+b)10的展開式第三項的系數(shù)是(  )

 

A.

36

B.

45

C.

55

D.

66

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已知關(guān)于x,y的二元一次方程組的解滿足x+y=0,求實數(shù)m的值.

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若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根,則(    )

  A.            B.             C.        D.

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已知關(guān)于的方程的一個根是,則_______.

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已知一矩形的兩邊長分別為10 cm和15 cm,其中一個內(nèi)角的平分線分長邊為兩部分,這兩部分的長為(    )

A.6 cm和9 cm    B. 5 cm和10 cm    C. 4 cm和11 cm          D. 7 cm和8 cm

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計算:-(-2)0;

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