Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點(diǎn), 頂點(diǎn)為.

(1) 求此二次函數(shù)解析式；
(2) 點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線：交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)作直線∥交直線于點(diǎn).問(wèn)：在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3) 在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、、，求和的最小值.

Answer 1

(1) (2) 點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，即是滿足題意的點(diǎn)，坐標(biāo)為（2， ）
(3)8

解析試題分析：(1) ∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-1,0）、（3,0），

∴
解得
∴二次函數(shù)解析式為.
（2）可求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）.
可求直線AD的解析式為 .
由題意可求直線BK的解析式為.
∵直線的解析式為,
∴可求出點(diǎn)K的坐標(biāo)為(5,).易求 .
∴四邊形ABKD是菱形.
∵菱形的中心到四邊的距離相等，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，即是滿足題意的點(diǎn)，坐標(biāo)為（2， ） . 
(3) ∵點(diǎn)D、B關(guān)于直線AK對(duì)稱,
∴的最小值是.
過(guò)K作KF⊥x軸于F點(diǎn). 過(guò)點(diǎn)K作直線AD的對(duì)稱點(diǎn)P,連接KP,交直線AD于點(diǎn)Q,
∴KP⊥AD.
∵AK是∠DAB的角平分線,
∴.
∴的最小值是.即BP的長(zhǎng)是的最小值.
∵BK∥AD,
∴.
在Rt△BKP中,由勾股定理得BP=8.
∴的最小值為8.    
考點(diǎn)：二次函數(shù)
點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，主要考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的掌握，本題難度較高在圖像分析較復(fù)雜，需要學(xué)生有扎實(shí)基礎(chǔ)來(lái)理清思路。一般為壓軸題型，基礎(chǔ)較好的同學(xué)要多加訓(xùn)練，培養(yǎng)解題感覺(jué)。